GABARITO: ALTERNATIVA E

O primeiro fato que você deve recordar sobre divisores de um número inteiro é que se 𝑝₁ é um primo divisor de 𝑐, 𝑐/𝑝₁ também é divisor de 𝑐, pois 𝑝₁ ∙ 𝑐/𝑝₁ = 𝑐.

Suponha que 𝑐 possua apenas 1 divisor primo positivo. Disso, deveríamos ter que 𝑐 = 𝑝₁. Os seus divisores seriam:

1 , 𝑝₁

Mas isso não condiz com o fato de o produto dos divisores de 𝑐 menores que ele ser 𝑐². Suponha que 𝑐 = 𝑝₁². Então os divisores de 𝑐 são:

1, 𝑝₁, 𝑝₁²

Novamente, veja que é impossível obedecer a condição dada.

Suponha então que 𝑐 possua dois divisores primos distintos, 𝑝₁ 𝑒 𝑝₂. Teríamos então que:

𝑐/𝑝₁ 𝑒 𝑐/𝑝₂

Também seriam seus divisores e, assim, teríamos:

Como divisores positivos de 𝑐.

Veja que:

O que satisfaz o enunciado.

Como o produto das raízes de 𝑃(𝑥) é dado por 𝑐 = 𝑥₁𝑥₂𝑥₃, temos que elas são divisoras de 𝑐. Se nós dividirmos as raízes em dois conjuntos:

Se nenhuma raiz for igual a 1, temos que duas das raízes pertencem ao mesmo conjunto e a outra ao outro conjunto. Mas isso não verificaria o produto igual a 𝑐.

Logo, uma das raízes deve ser 1 e a outra deve pertencer a um mesmo conjunto, conforme dividimos acima.

Sem perda de generalidade faça 𝑥₁ = 1. Disso, temos que, por Girard:

1 ∙ 𝑥₂ + 1 ∙ 𝑥₃ + 𝑥₂ ∙ 𝑥₃ = 80 ⇒ (𝑥₁ + 1)(𝑥₂ + 1) = 81 = 3 ∙ 27

As raízes são positivas e distintas. Disso, devemos ter:

𝑥₁ + 1 = 3 ⇒ 𝑥₁ = 2

𝑥₂ + 1 = 27 ⇒ 𝑥₂ = 26

Por fim, utilizando Girard para a soma das raízes:

𝑏 = 1 + 2 + 26 = 29