GABARITO: ALTERNATIVA B

A divisão de um polinômio 𝑃(𝑥) por um divisor 𝐷(𝑥) é:

𝑃(𝑥) = 𝐷(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)

Do enunciado:

𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2) ⋅ 𝑄₁(𝑥) + 2 ⇒ 𝑃(2) = 2

𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3) ⋅ 𝑄₂(𝑥) + 3 ⇒ 𝑃(3) = 3

𝑃(𝑥) = (𝑥 − 5) ⋅ 𝑄₃(𝑥) + 5 ⇒ 𝑃(5) = 5

Queremos saber o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 5), logo:

Como nosso divisor tem grau 3, o grau do resto deve ser menor ou igual a 2. Vamos supor que o grau do resto seja 2:

Fazendo 𝑥 = 2; 3; 5, obtemos:

𝑃(2) = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 2

𝑃(3) = 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 3

𝑃(5) = 25𝑎 + 5𝑏 + 𝑐 = 5

Agora, basta resolver o sistema linear:

Fazendo (𝐼𝐼) − (𝐼) e (𝐼𝐼𝐼) − (𝐼𝐼), encontramos:

Subtraindo a segunda equação desse sistema com a primeira:

6𝑎 = 0 ⇒ 𝑎 = 0

𝑎 = 0 ⇒ 5𝑎 + 𝑏 = 1 ⇒ 𝑏 = 1

𝑎 = 0, 𝑏 = 1 ⇒ 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 2 ⇒ 𝑐 = 0

Portanto, o resto é dado por:

𝑅(𝑥) = 𝑥