GABARITO: ALTERNATIVA A

Onde 𝑀 é o ponto médio do lado 𝐶B e 𝑉M é altura do triângulo VCB (pois é isósceles), 𝑃 é a projeção de 𝐴 no plano VCBe 𝐻 a projeção do vértice 𝑉 no centro do triângulo equilátero VHA.

Veja que, no triângulo VHA:

V𝐴² = 𝑉𝐻² + 𝐻𝐴² ⇒ 9 = 5 + 𝐻𝐴² ⇒ 𝐻𝐴² = 4 ⇒ 𝐻A = 2

Porém, sabemos que, num triângulo equilátero (a base de uma pirâmide regular de base triangular é um triângulo equilátero) a distância do seu centro (baricentro e incentro) ao vértice é igual a dois terços de sua altura, pois o baricentro divide a altura na razão 2:1. Assim, sendo 𝑙 o lado do triângulo equilátero:

Agora, como 𝑀 é ponto médio de CB

Pitágoras no triângulo CVM:

𝑉𝐶² = 𝑉𝑀² + 𝐶𝑀² ⇒ 9 = 𝑉𝑀² + 3 ⇒ VM = √6

Assim, a área do triângulo VBC:

Portanto, o volume do prisma ABCV, usando como base VCB e altura PA:

Por outro lado, usando ABC como base e VH𝑉 = √5 como altura, sabendo queABC é triângulo equilátero de lado 𝑙:

Portanto, igualando as duas expressões do volume:

Gabarito: “a”.