GABARITO: ALTERNATIVA A

Sabemos que numa pirâmide hexagonal, a base é um hexágono regular, que é formada por 6 triângulos equiláteros que possuem os lados em comum com o hexágono. Sabe-se também que, como o hexágono está inscrito na circunferência da base do cone, então temos:

Portanto, o raio da circunferência circunscrita 𝑟 é igual ao lado do triângulo equilátero (𝑙 = 𝑟). Assim, podemos calcular a área da base hexagonal:

O volume do cone é dado:

Onde ℎ é a altura do cone relativa à base. Como o cone é equilátero, então o triângulo formado pelo vértice do cone, e por dois pontos diametralmente opostos na circunferência da sua base formam um triângulo equilátero. Dessa maneira, a geratriz do cone equilátero mede igual ao diâmetro da base:

Na imagem acima, P é o vértice do cone equilátero e NO é um diâmetro da base. Veja que PNO é triângulo equilátero e PQ é altura do triângulo, também do cone. Assim, aplicando Pitágoras no triângulo PQN:

𝑃𝑁² = 𝑃𝑄² + 𝑄𝑁² ⇒ 4𝑟² = 𝑟² + ℎ² ⇒ ℎ = 3𝑟² ⇒ ℎ = 𝑟√3

Assim, o volume do cone é:

Como o cone e a pirâmide possuem a mesma altura, o volume da pirâmide é: