GABARITO: ALTERNATIVA D

Para resolvermos essa questão, vamos analisar as funções envolvidas.

Seja 𝑓(𝑥) = (cos 𝑥)²⁰¹⁸ e 𝑔(𝑥) = 2 − 2(𝑥/𝜋)². Note que ambas funções são pares:

𝑓(−𝑥) = (cos(−𝑥))²⁰¹⁸ = (cos 𝑥)²⁰¹⁸ = 𝑓(𝑥)

𝑔(−𝑥) = 2 − 2(−𝑥/𝜋)² = 2 − 2(𝑥/𝜋)² = 𝑔(𝑥)

Queremos saber quantas soluções temos para 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Inicialmente, podemos verificar que 𝑥 = 0 satisfaz a igualdade:

𝑓(0) = (cos 0)²⁰¹⁸ = 1

𝑔(0) = 2 − 2⁰ 0 = 1 = 𝑓(0)

Assim, já verificamos que a equação possui 1 solução. Como as funções são pares, devemos ter um número ímpar de soluções, já que se 𝑓(𝑥₀) = 𝑔(𝑥₀) for verdade, temos que 𝑓(−𝑥₀) = 𝑔(−𝑥₀) também será. Analisando as alternativas, podemos ver que apenas as letras “b” e “d” podem ser o gabarito da questão. Vamos verificar se temos 3 soluções (alternativa “d”).

A imagem de 𝑓 é o intervalo [0, 1] e a de 𝑔 é o intervalo ] − ∞, 1].

𝑔 é uma função que se anula no ponto 𝑥 = 𝜋:

𝑔(𝜋) = 2 − 2(𝜋/𝜋)² = 2 − 2¹ = 0

𝑔 é decrescente e contínua no intervalo 𝑥 > 0. Então, como 𝑔(𝜋) = 0, temos que 𝑥 > 𝜋 resulta 𝑔(𝑥) < 0. Já que a imagem de 𝑓 está no intervalo [0, 1], as possíveis soluções de 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) devem estar no intervalo [0, 𝜋].

Nesse intervalo, temos:

• 𝑓 é decrescente em [0, 𝜋/2]

• 𝑓 é crescente em [𝜋/2, 𝜋]

Como 𝑓(𝜋) = (cos 𝜋)²⁰¹⁸ = 1 e 𝑔(𝜋) = 0, podemos afirmar que no intervalo [𝜋/2, 𝜋], onde 𝑓 é crescente, as funções se interceptam uma vez. Logo, temos 3 soluções no intervalo [−𝜋, 𝜋].

Portanto, encontramos o gabarito na letra “d”.

Poderíamos ter resolvido através do esboço do gráfico, veja:

Vamos ver como é o gráfico de 𝑔:

Façamos por partes. Iniciando pelo termo . Você deve se lembrar que a função exponencial cuja base é maior que 1 possui o seguinte formato:

Note que o termo é do tipo acima. Se elevamos a variável 𝑥 ao quadrado, a função torna-se par e, assim, ela será simétrica em relação ao eixo 𝑦. Então, ℎ(𝑥²) = terá a seguinte forma:

Para construirmos a função 𝑔, devemos fazer:

Então, vamos multiplicar a função por (−1):

Quando somamos 2 na função, sua imagem é deslocada 2 posições para cima e, assim, obtemos mais 2 raízes. Perceba que para 𝑥 = ±𝜋, a função 𝑔 se anula:

Logo, essas são as raízes de 𝑔:

Vamos analisar a função 𝑓 para 𝑥 > 0:

• A imagem de 𝑓(𝑥) = (cos 𝑥)²⁰¹⁸ é o intervalo [0, 1].

• 𝑓 se anula nos pontos 𝜋/2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.

• 𝑓 é decrescente em [0, 𝜋/2] e crescente em [𝜋/2, 𝜋].

No intervalo (0, 𝜋/2), 𝑓 decresce rapidamente, pois seu expoente é 2018 e sua imagem é menor do que 1. No intervalo, (𝜋/2, 𝜋), ele volta a crescer e se aproxima de 1 apenas quando 𝑥 estiver próximo de 1. Desse modo, temos o seguinte esboço:

Perceba que os gráficos apenas se interceptam 3 vezes.