GABARITO: ALTERNATIVA C.

Perceba que os arcos 𝑥 + 8𝑥 somam 9𝑥, bem como 4𝑥 + 5𝑥. Assim, podemos agrupar esses arcos por meio das fórmulas de Prostaférese:

(sen 8𝑥 + sen 𝑥) + (sen 5𝑥 + sen 4𝑥) = 0

Lembrando que:

sen 𝑝 + sen 𝑞 = 2sen((𝑝 + 𝑞)/2) cos((𝑝−𝑞)/2) ∀ 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ

Então, para 𝑝 = 8𝑥 e 𝑞 = 𝑥:

sen 8𝑥 + sen 𝑥 = 2 sen((8𝑥 + 𝑥)/2) cos((8𝑥−𝑥)/2) = 2 sen(9𝑥/2) cos(7𝑥/2)

Para 𝑝 = 5𝑥, 𝑞 = 4𝑥:

sen 5𝑥 + sen 4𝑥 = 2 sen((5𝑥 + 4𝑥)/2) cos((5𝑥−4𝑥)/2) = 2 sen(9𝑥/2) cos(𝑥/2)

Substituindo na expressão do enunciado:

Portanto, para que o produto seja nulo, podemos ter, para 𝑘 inteiro:

sen(9𝑥/2) = 0 ⇒ 9𝑥/2 = 𝑘𝜋 ⇒ 𝑥 = 2𝑘𝜋/9

Mas:

0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ⇒ 0 ≤ 2𝑘𝜋/9 ≤ 2𝜋 ⇒ 0 ≤ 𝑘 ≤ 9

Portanto, com k assumindo 10 valores distintos, temos 10 soluções possíveis até então. Agora vamos analisar a segunda condição:

cos(7/𝑥2) − cos(𝑥/2) = 0 ⇒ cos(7𝑥/2) = cos(𝑥/2)

Assim, temos dois casos:

Entretanto todas essas 4 soluções acima já foram contadas no caso anterior. O segundo caso agora é:

Portanto, encontramos mais 3 soluções distintas, que são 𝜋/2, 𝜋, 3𝜋/2. Assim, temos no total o conjunto solução com 10 + 3 soluções distintas: