GABARITO: ALTERNATIVA C

Analisando a equação:

cos(8𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑡𝑔²𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔²𝑥

𝑡𝑔²𝑥 + 1/𝑡𝑔²𝑥 = cos(8𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

Nessa questão, devemos usar a desigualdade das médias para resolvê-la:

𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺

Então, vamos analisar os termos 𝑡𝑔²𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔²𝑥:

Agora, devemos perceber que:

|cos (8𝑥)| ≤ 1

|𝑠𝑒𝑛(2𝑥)| ≤ 1

cos(8𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) ≥ 2

Essa desigualdade é satisfeita quando cos(8𝑥) = 1 𝑒 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = −1. Assim, temos:

cos(8𝑥) = 1 ⇒ 8𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

𝑥 = 𝑘𝜋/4, 𝑘 ∈ ℤ

𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = −1 ⇒ 2𝑥 = 3𝜋/2 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

𝑥 = 3𝜋/4 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Portanto, as soluções devem satisfazer ao seguinte sistema:

Para o intervalo pedido, encontramos as seguintes soluções:

𝑥 ∈ [0, 2𝜋] ⇒ 𝑥 = 3𝜋/4 𝑒 𝑥 = 7𝜋/4

Assim, temos apenas 2 soluções.