GABARITO: ALTERNATIVA A

Observe que sempre que ‘a’ for divisor de N, N/A também será, consequentemente ter-se-ia um número par de divisores de N. Entretanto, a questão diz que o número de divisores de N é ímpar, o que só pode ocorrer caso exista um x, tal que:

Ou seja, N é um quadrado perfeito, que pode ser decomposto da seguinte forma:

𝑁 = 2²ᵃ ∗ 3²ᵇ ∗ 5²ᶜ ∗ 7²ᵈ ∗ … (1)

Para descobrirmos o número de divisores positivos (D), basta fazer:

𝐷 = (2𝑎 + 1) ∗ (2𝑏 + 1) ∗ (2𝑐 + 1) ∗ (2𝑑 + 1) ∗ …

Além disso, sabemos que:

2005 = 5 ∗ 401

Temos, então

(2𝑎 + 1) ∗ (2𝑏 + 1) ∗ (2𝑐 + 1) ∗ (2𝑑 + 1) ∗ … = 5 ∗ 401

Portanto, temos vários fatores iguais a 1, um fator igual a 5 e um fator igual a 401 do lado esquerdo. Com isso, concluímos que de todos os números primos que foram escritos na decomposição feita em (1) no máximo dois deles aparecem de fato na decomposição de N.

Podendo N ser da forma:

Assim sendo, o número de base distintas da sua decomposição em fatores primos é, no máximo duas, mas pode ser um.

Gabarito: A