GABARITO: ALTERNATIVA C

A questão pede os divisores de 17640 que são divisíveis por 3. Vamos fatorar o número 17640:

Podemos escrever:

17640 = 2³ ∙ 3² ∙ 5 ∙ 7² = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 7

O número de divisores será dado pela quantidade de números diferentes que podemos formar com os fatores de 17640 e que possuem o 3 como fator.

Neste caso, já que temos dois fatores 3, podemos formar números divisíveis por 3 e também por 9 (3²). Então, já temos 2 casos diferentes.

Os números podem possuir 2, 4 (2²) e 8 (2³) como fatores ou também podem não possuir o 2 como fator. Logo, são 4 possibilidades nesse caso.

Eles podem possuir o 5 como fator e também podem não possuir. Assim, são 2 possibilidades.

Por fim, podemos ter 7 e 7² como fator ou também podemos não o ter. Neste caso, temos 3 possibilidades.

Devemos multiplicar as possibilidades para cada número e, desse modo, calcular a quantidade:

𝑛 = 2 ∙ 4 ∙ 2 ∙ 3 = 48 números divisíveis por 3.