GABARITO: ALTERNATIVA A

Um número capicua de 4 algarismos é da forma:

Queremos que isso seja um cubo perfeito:

a ⋅ 10³ + b ⋅ 10² + b ⋅ 10 + a = k³

⇒ a(1000 + 1) + 10b(10 + 1) = k³

⇒ 1001a + 110b = k³

Mas veja que 1001 e 110 são múltiplos de 11:

11(91a + 10b) = k³

Portanto, isso restringe, e muito, nossa busca por números capicuas de 4 algarismos que são cubos perfeitos, pois acima temos que k³ é múltiplo de 11. Portanto, como 11 é primo, k tem que ser múltiplo de 11. Assim, vamos analisar os cubos dos múltiplos de 11 que são de 4 algarismos e verificar quais são capicuas:

11³ = 1331 ⇒ capicua!

22³ = 10648 ⇒ 5 algarismos

…

Portanto, veja que o único que satisfaz a condição é o k = 11. Os demais múltiplos de 11 resultam em cubos com mais de 4 algarismos. Dessa maneira, só existe um capicua de 4 algarismos que é cubo perfeito, e esse é o 1331.

O total de números capicuas

de 4 algarismos pode ser contado da seguinte maneira: escolhemos a de 9 maneiras distintas (1 a 9), e podemos escolher b de 10 maneiras distintas (0 a 9). Portanto, são 9 ⋅ 10 = 90 maneiras distintas. Assim, a probabilidade pedida é: