GABARITO: ALTERNATIVA C

Se MMC(𝐀, 𝐗, 𝐁) = 1680= 𝟐⁴ ∗ 𝟑 ∗ 𝟓 ∗ 𝟕 e MDC(𝐀, 𝐗,𝐁) = 𝟐³ ∗ 𝟑 ∗ 𝟓, podemos escrever:

𝑨 ∗ 𝒑 = 1680

𝑿 ∗ 𝒒 = 1680

𝑩 ∗ 𝒓 = 1680

Com p,q e r ∈ℕ, MDC(𝒑, 𝒒, 𝒓) = 𝟏 e 𝒓 < 𝒒 < 𝒑 (Pois A<X<B)

𝑨 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒚

𝑿 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒛

𝑩 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ w

Com y,z e w ∈ℕ, MDC(𝒚, 𝒛, 𝒘) = 𝟏 e 𝒚 < 𝒛 < 𝒘 (Pois A<X<B)

Unindo as equações, temos que:

120 ∗ 𝒚 ∗ 𝒑 = 1680⇨ 𝒚 ∗ 𝒑 = 14

120 ∗ 𝒛 ∗ 𝒒 = 1680⇨ 𝒛 ∗ 𝒒 = 14

120 ∗ 𝒘 ∗ 𝒓 = 1680⇨ 𝒘 ∗ 𝒓 = 14

Temos então, as seguintes possibilidades:

1.1) y=1 e p=14

1.2) y=2 e p=7

1.3) y=7 e p =2 (Absurdo, já que ‘q’ e ‘r’ ∈ℕ e r<q<p)

1.4) y=14 e p=1 (Absurdo, já que ‘q’ e ‘r’ ∈ℕ e r<q<p)

E, ainda:

2.1) z=1 e q=14

2.2) z=2 e q=7

2.3) z=7 e q=2

2.4) z=14 e q=1 (Absurdo, já que ‘r’ ∈ℕ e r<q)

E, por último:

3.1) w=1 e r=14

3.2) w=2 e r=7

3.3) w=7 e r=2

3.4) w=14 e r=1

De 2.1, 2.2 e 2.3, temos que X tem 3 possibilidades, mas de 1.1, vemos que o menor valor possível de A é 120, logo X>120 e portanto, concluímos que X só tem 2 valores possíveis.

Gabarito: C