GABARITO: ALTERNATIVA D

Perceba que

Assim, temos:

Sabemos que a imagem da função arco-tangente é o intervalo ]−𝜋/2, 𝜋/2[. Assim, temos:

Como o problema pede a menor solução positiva, vamos considerar 𝑥 > 2:

Retornando à equação, temos:

Seja as funções

No intervalo 𝑥 > 2, a função 𝑓 é estritamente crescente e a função 𝑔 é estritamente decrescente. Para encontrar a solução dessa equação, devemos usar o método da tentativa:

Para 𝑥 = 2:

𝑓(2) = 6/4 = 1,5

𝑔(2) = 𝑡𝑔 (2𝜋/4) = 𝑡𝑔 (𝜋/2) = +∞

⇒ 𝑔(2) > 𝑓(2)

Para 𝑥 = 3:

𝑓(3) = 9/4 = 2,25

𝑔(3) = 𝑡𝑔 (2𝜋/5) = 𝑡𝑔(72°)

Para 𝑥 = 4:

𝑓(4) = 3

𝑔(4) = 𝑡𝑔 (2𝜋/6) = 𝑡𝑔 (𝜋/3) = √3

⇒ 𝑔(4) < 𝑓(4)

Perceba que 2 < 𝑥 < 4, pois para 𝑥 = 2, 𝑔(2) > 𝑓(2) e para 𝑥 = 4, 𝑔(4) < 𝑓(4).

Temos que descobrir o valor de 𝑡𝑔(72°) para saber se 3 < 𝑥 < 4:

Vamos usar o triângulo isósceles para encontrar esse valor:

Devemos encontrar o valor de 𝑎. Perceba que os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 são semelhantes. Dessa forma:

Como 𝑎 > 0, temos:

Vamos usar a Lei dos Cossenos para o triângulo 𝐴𝐵𝐶:

𝐴𝐵² = 𝐵𝐶² + 𝐶𝐴² − 2(𝐵𝐶)(𝐶𝐴) cos(72°)

𝑎² = 1 + 𝑎² − 2 acos(72°)

cos(72°) = 1/2𝑎

sec(72°) = 2𝑎 = √5 + 1

Usando a relação sec2 72° = 1 + 𝑡𝑔²72°:

(√5 + 1)² = 1 + 𝑡𝑔²(72°)

5 + 2√5 = 𝑡𝑔²(72°)

Como 5 + 2√5 > 2,25, temos:

𝑔(3) > 𝑓(3)

Portanto, podemos concluir que 3 < 𝑥 < 4.