GABARITO: a) Demonstração b) 𝑪 e 𝑫 são semelhantes

a) Pelo Teorema de Binet, temos que:

det(𝐴) = det(𝑃) . det(𝐵) . det(𝑃⁻¹)

Como a matriz P é inversível, podemos usar que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante.

b) Podemos utilizar o teorema de que A e B são semelhantes se, e somente se:

• det(𝐴) = det (𝐵)

• A e B possuem o mesmo polinômio característico;

• A e B possuem o mesmo traço;

Vamos à primeira condição:

Logo, a primeira condição está atendida. Vamos checar os polinômios característicos;

Logo, a segunda condição está atendida.

Se os polinômios característicos são iguais, então os autovetores são iguais e possuem a mesma multiplicidade.

Os traços de C e D são:

Portanto, as matrizes C e D são semelhantes.

Outra forma de resolver é utilizar a definição do enunciado:

𝐶 = 𝑃𝐷𝑃⁻¹

Multiplicando por P à direita:

∴ 𝐶𝑃 = 𝑃𝐵

Consideremos uma matriz P genérica:

Fazendo as multiplicações:

Agora, devemos aplicar a identidade matricial:

4𝑎 + 2𝑐 = 8𝑎 + 3𝑏 ∴ 4𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 = 0 (𝐼)

4𝑏 + 2𝑑 = −2𝑎 + 𝑏 ∴ −2𝑎 − 3𝑏 − 2𝑑 = 0 (𝐼𝐼)

3𝑎 + 5𝑐 = 8𝑐 + 3𝑑 ∴ 𝑎 = 𝑐 + 𝑑 (𝐼𝐼𝐼)

3𝑏 + 5𝑑 = −2𝑐 + 𝑑 ∴ 3𝑏 + 2𝑐 + 4𝑑 = 0 (𝐼𝑉)

Precisamos encontrar uma solução para o sistema, de modo que a matriz P seja invertível. Da equação IV:

Logo:

Para c=d=1:

Logo, encontramos uma matriz P tal que 𝐶 = 𝑃𝐷𝑃⁻¹, portanto, C e D são semelhantes.