GABARITO: ALTERNATIVA D

Nessa questão, poderíamos ficar tentados a calcular o discriminante da cônica e, assim, acharíamos que o lugar geométrico é uma elipse. No entanto, devemos nos atentar às alternativas e ver que nas letras (D) e (E), temos um conjunto vazio e duas retas paralelas, respectivamente. Assim, vamos verificar se a equação dada pode ser uma dessas possibilidades. Analisemos a equação quadrática em função de 𝑥:

𝑥² + 3𝑦² + 5 = 2𝑥 − 𝑥𝑦 − 4𝑦

𝑥² + (𝑦 − 2)𝑥 + 3𝑦² + 4𝑦 + 5 = 0

Devemos verificar se essa equação possui solução. Para isso, vamos calcular seu discriminante:

Δ = (𝑦 − 2)² − 4(3𝑦² + 4𝑦 + 5)

Δ = 𝑦² − 4𝑦 + 4 − 12𝑦² − 16𝑦 − 20

Δ = −11𝑦² − 20𝑦 − 16

Encontramos uma função em 𝑦. Ao analisarmos o discriminante da equação −11𝑦² − 20𝑦 − 16 = 0, verificamos que ele é menor que zero:

Δ′ = (−20)² − 4(−11)(−16) = 400 − 704 = −304 < 0

Como o discriminante dessa equação é menor que zero e a função Δ = 𝑓(𝑦) = −11𝑦² − 20𝑦 − 16 representa uma parábola com concavidade para baixo, temos que ∀𝑦 ∈ ℝ, 𝑓(𝑦) < 0, ou seja, Δ < 0, ∀𝑦 ∈ ℝ. Portanto, a equação inicial em 𝑥 não possui solução, logo, o lugar geométrico é o conjunto vazio.