GABARITO: ALTERNATIVA A

Queremos analisar o sinal da função 𝑓(𝑥) dada no enunciado. O objetivo é observar em que intervalo essa função é positiva, sabendo que 𝑎𝑎 é um real negativo (ℝ− ∗ ). Vamos reescrever 𝑓(𝑥):

Agora, podemos fazer o estudo do sinal das funções do numerador e do denominador de maneira mais fácil, pois conhecemos qual é “a cara” do gráfico delas. No numerador temos uma função linear com coeficiente angular igual a 1, com um coeficiente linear dependendo de 𝑎𝑎. No denominador, temos uma função quadrática de concavidade para cima (pois o coeficiente de 𝑥² é positivo) cujas raízes são fáceis de identificar.

Analisando quando o numerador é positivo

Analogamente, para quando ele é negativo:

Agora, analisando quando o denominador é positivo:

Sabemos que esse produto só é positivo quando os fatores são de mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).

Para ambos positivos:

Para ambos negativos:

Logo, o denominador é positivo se, e somente se

Sabemos que o denominador só pode assumir valores positivos ou negativos (não pode ser nulo, ou seja, 𝑥𝑥 não assume os valores que zeram o denominador, isto é, 0 e 1/a). Se já encontramos o intervalo real que o torna positivo, o complementar deste (sem as raízes, obviamente), o torna negativo:

Logo, o denominador é negativo para o intervalo

Essas deduções podem e precisam ser automáticas quando se pensa no gráfico da função quadrática.

Portanto, como a função 𝑓(𝑥) é uma divisão, ela será positiva quando o numerador e o denominador tiverem sinais iguais.

Numerador e denominador positivos:

Numerador e denominador negativos:

Portanto, a função é positiva para valores de 𝑥𝑥 tal que:

Dentre as alternativas, há apenas uma que contempla um dos intervalos encontrados:

Gabarito: “d”