GABARITO: ALTERNATIVA E

Vamos escolher uma das expressões modulares acima para fazer o estudo do sinal. Pode escolher qualquer uma delas. Vamos começar com |2𝑥𝑥 − 8|:

i) 2𝑥 − 8 ≥ 0 ⇒ 2𝑥 ≥ 8 ⇒ 𝑥 ≥ 4

Assim, nesse caso em que 𝑥 ≥ 4 a expressão do enunciado fica:

𝑥 + 2𝑥 − 8 ≤ 𝑥 + 8 ⟺ 2𝑥 ≤ 16 ⟺ 𝑥 ≤ 8

A interpretação desse resultado deve ser feita da seguinte maneira: quando analisamos valores de 𝑥 maiores que 4, a desigualdade do enunciado é satisfeita para valores de 𝑥 menores ou iguais a 8. Portanto, 4, 5, 6, 7 e 8 são possíveis valores de 𝑥. Vamos para o segundo caso:

ii) 2𝑥 − 8 < 0 ⇒ 2𝑥 < 8 ⇒ 𝑥 < 4

Nesse caso é preciso ter mais cuidado. Pois sabemos que |𝑥| = 𝑥 apenas para 𝑥 ≥ 0 e que |𝑥 + 8| = 𝑥 + 8 apenas para 𝑥 ≥ −8.

Analisemos o subcaso em que 0 ≤ 𝑥𝑥 < 4: Nesse caso a desigualdade do enunciado fica:

𝑥 + (−(2𝑥 − 8)) ≤ 𝑥 + 8 ⟺ 𝑥 − 2𝑥 + 8 ≤ 𝑥 + 8 ⟺ −2𝑥 ≤ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 0

Portanto, os valores que satisfazem a igualdade são 𝑥𝑥 tal que: 0 ≤ 𝑥 < 4 e 𝑥 ≥ 0. Logo, temos 0, 1, 2 e 3.

Agora, analisaremos o intervalo −8 ≤ 𝑥𝑥 < 0. Para tal, a desigualdade do enunciado fica:

(−𝑥) + (−(2𝑥 − 8)) ≤ 𝑥 + 8

⇒ −𝑥 − 2𝑥 + 8 ≤ 𝑥 + 8 ⇒ 4𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 0

Logo, para esse intervalo não há 𝑥 que satisfaça a desigualdade.

Por último, falta analisar os valores de 𝑥 < −8. Para este intervalo, a desigualdade fica:

(−𝑥) + (−(2𝑥𝑥 − 8)) ≤ −(𝑥 + 8) ⇒ −𝑥 − 2𝑥 + 8 ≤ −𝑥 − 8

⇒ 2𝑥 ≥ 16 ⇒ 𝑥 ≥ 8

Assim, para valores de 𝑥 < −8, não existem aqueles que satisfazem a desigualdade.

Portanto, as soluções inteiras encontradas para 𝑥𝑥 em todos os casos foram 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, totalizando assim, 9 soluções inteiras.

Gabarito: “e”