GABARITO: ALTERNATIVA D

A função a ser analisada é f(x) =

. As primeiras impressões são das raízes de 𝑓:

Portanto, a função é nula para x=e⁻¹.

Outra coisa que podemos analisar é o limite quando x→ e. Nesse caso o numerador tende a 2 e o denominador tende a 0, fazendo com que a função tenda a infinito. Portanto, embora x= e não pertença ao domínio dessa função, para valores próximos dele a função assume valores indefinidamente grandes (tende a infinito tanto pela esquerda quanto pela direita).

Agora, analisando o limite quando x→0:

Aplicando L’Hospital, sabendo que denominador possuem mesmo sinal para x→0:

Assim, vemos que o limite é 1, ou seja, a função se aproxima de 1 quando x se aproxima de 0. Assim, as únicas alternativas possíveis são c) ou d). Veja que a única coisa que diferencia essas duas alternativas é a concavidade da função f(x) no intervalo de 0 < x ≤ 1/e. Para isso, vamos calcular a segunda derivada da função nesse intervalo:

Veja que a segunda derivada é sempre positiva no intervalo de 0 < x < 1/e. Portanto, nesse intervalo a concavidade é sempre para cima, sendo a alternativa correta a letra d).