GABARITO: ALTERNATIVA B

Temos uma montanha num formato de uma parábola descrita no enunciado. Perceba, por soma e produto que as raízes dessa parábola são os próprios extremos da montanha, isto é, 𝑥 = 6 e 𝑥 = 11. Levando em consideração o fato de o enunciado ter dito que o rifle é de alta precisão, entendemos que o projétil não sofrerá alteração de trajetória pela gravidade e, portanto, terá trajetória retilínea.

Um coelho localizado na montanha parabólica só estará livre de perigo, portanto, quando a reta de tiro não puder mais alcançá-lo na montanha e isso acontece quando a reta de tiro é tangente à parábola descrita, isto é, a toca apenas uma única vez.

Suponha que a reta de tiro seja 𝑦𝑟 = 𝑎+ 𝑏. Como o tiro sai do ponto (2,0), então esse ponto tem que pertencer à reta (linha de tiro). Daí:

0 = 2𝑎 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = −2𝑎 ⇒ 𝑦𝑟 = 𝑎x − 2a

Além disso, queremos que essa reta seja tangente à parábola, ou seja, só possuam um ponto em comum. Ao igualarmos as funções da reta e da parábola para calcularmos o x do ponto de encontro, temos:

𝑦 = 𝑎 − 2𝑎 = −𝑥² + 17𝑥 − 66 ⇒ −𝑥² + 𝑥(17 − 𝑎) − (66 − 2𝑎) = 0

Queremos que essa equação tenha apenas uma raiz real (único ponto de tangência), o que implica que Δ = 0. Logo:

Δ = (17 − 𝑎)² − 4(66 − 2𝑎) = 0

Aplicando Bhaskara nessa segunda equação em 𝑎𝑎, encontramos 𝑎𝑎 = 25 e 𝑎 = 1 como raízes. Claramente a opção 𝑎𝑎 = 25 é descartada por motivos gráficos (nesse caso 𝑦(6) = 25 ⋅ 6 − 50 = 100), pois o máximo da montanha é em torno de 6 (pode calcular usando a expressão do 𝑦𝑣 da parábola). Portanto, 𝑎 = 1 e a reta de tiro nesse caso é 𝑦𝑟 = 𝑥 − 2.

Dessa maneira, o ponto de tangência dessa reta com a parábola é a raiz única da equação:

−𝑥² + 𝑥(17 − 1) − (66 − 2) = 0 ⇒ 𝑥² − 16𝑥 + 64 = 0

⇒ (𝑥 − 8)² = 0 ⇒ 𝑥 = 8

Portanto, o valor de altitude da montanha nesse ponto é:

𝑦(8) = −82 + 17 ⋅ 8 − 66 = −64 + 136 − 66 = 6

Dessa maneira, o ponto desejado é (8,6)

Gabarito: “b”