GABARITO: ALTERNATIVA C

Temos a primeira figura abaixo:

Veja que o triângulo 𝐴𝑃𝑀 é isósceles e, sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º

2∠𝐴𝑀𝑃 + 80º = 180º ⇒ ∠𝐴𝑀𝑃 = 50º

Dessa forma,

∠𝑃𝑀𝐵 = 180º − ∠𝐴𝑀𝑃 = 180º − 50º = 130º

Veja que o ângulo de 60º é externo ao triângulo isósceles 𝐵𝑀𝑄. Assim, temos que

Assim,

∠𝑃𝑀𝑄 = ∠𝑃𝑀𝐵 − ∠𝐵𝑀𝑄 = 130º − 30º = 100º

Como o triângulo 𝑃𝑀𝑄 também é isósceles, temos que

2∠𝑀𝑃𝑄 + 100º = 180º ⇒ ∠𝑀𝑃𝑄 = 40º

Assim, temos que

𝛼 + ∠𝑃𝑀𝐵 + ∠𝑀𝑃𝑄 = 180º ⇒ 𝛼 + 130º + 40º = 180º ⇒ 𝛼 = 10º

Temos a segunda figura:

Veja que 𝛽 é um ângulo de segmento e o arco que ele “olha” somado aos dois arcos ao lado formam um arco de 180○, já que o ângulo reto triângulo retângulo “olha” para um diâmetro. Assim,

2𝛽 + 80º + 2(40º − 15º) = 180º

⇒ 2𝛽 = 50º ⇒ 𝛽 = 25º

Portanto,

𝛼 + 𝛽 = 10º + 25º = 35º