GABARITO: ALTERNATIVA E

Seja a fatoração em primos, única pelo teorema fundamental da álgebra, de 100!:

Mas 100! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 98 ⋅ 99 ⋅ 100.

Dado um número inteiro positivo N, a quantidade de zeros em seu final é igual ao número de vezes em que se pode dividir por 10 e continuar com um inteiro positivo. A cada divisão, diminui-se uma unidade dos expoentes de 2 e de 5. Logo, é possível dividir por 10 min{𝑎, 𝑐} vezes.

Acontece que em m!, para todo inteiro positivo m, temos sempre que o expoente de 5 é menor ou igual ao expoente de 2, isto é, 𝑐 ≤ 𝑎. Logo, min{𝑎, 𝑐} = 𝑐. O problema agora é descobrir o expoente de 5 em 100!

Contemos as contribuições de cada 𝑘 ∈ {1,2, … , 99, 100}.

Cada múltiplo de 5 contribui com pelo menos um fator 5.

Cada múltiplo de 5² = 25 contribui com um fator 5 extra.

Não existem múltiplos de com 𝑙 ≥ 3.

Temos zeros no fim de 100!.