GABARITO: ALTERNATIVA D

Temos que 𝑎𝑎5 − 5𝑎𝑎3 + 4𝑎𝑎 = 𝑎𝑎(𝑎𝑎4 − 5𝑎𝑎2 + 4) = 𝑎𝑎�(𝑎𝑎4 − 4𝑎𝑎2 + 4) − 𝑎𝑎2� = 𝑎𝑎((𝑎𝑎2 − 2)2 − 𝑎𝑎2)

= 𝑎𝑎(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 2) = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 + 2)(𝑎𝑎 − 1).

Veja que olhando os possíveis restos na divisão por 4

Se a deixa resto 0, o produto é divisível pelo menos por 16.

Se a deixa resto 1 ou 3, o produto é divisível pelo menos por 8.

Se a deixa resto 2, o produto é divisível pelo menos por 32.

Assim, qualquer que seja o resto de a por 4, o produto será divisível por 8. Além disso, veja que temos o produto de 5 números consecutivos, de forma que podemos garantir que haverá pelo menos um múltiplo de 3 e um múltiplo de 5, mas não conseguimos garantir mais nada. Assim, o produto sempre será divisível por 8 ⋅ 5 ⋅ 3 = 120, e, dessa forma, também será múltiplo de 60.

Gabarito: D