ALTERNATIVA CORRETA: A

Observe que, multiplicando a equação dada no enunciado por 𝑎²:

𝑎⁶ − 𝑎⁴ + 𝑎² = 0

⇒ 𝑎⁶ = 𝑎⁴ − 𝑎²

Mas pela equação inicial, 𝑎⁴ − 𝑎² = −1. Logo:

𝑎⁶ = −1

Portanto, elevando ao cubo:

(𝑎⁶)³ = (−1)³ ⇒ 𝑎¹⁸ = −1

Multiplicando por 𝑎:

𝑎¹⁹ = −𝑎

Agora, a partir de 𝑎⁶ = −1, multiplicando por 𝑎 temos 𝑎⁷ = −𝑎. Daí:

1/𝑎⁷ = − 1/𝑎

Portanto, a expressão que se deseja achar é:

(𝑎¹⁹ − 1/𝑎⁷) = (1/𝑎 − 𝑎) = 1 − 𝑎² / 𝑎

Novamente da expressão do enunciado, 1 − 𝑎² = −𝑎⁴. Portanto:

= −𝑎⁴/𝑎 = −𝑎³

Assim, considerando o número complexo:

𝑎⁶ = −1 = 𝑐𝑖𝑠(𝜋 + 2𝑘𝜋)

Tirando as raízes quadradas em ambos os lados, e usando a segunda fórmula de Moivre:

𝑎³ = 𝑐𝑖𝑠 (𝜋/2 + 𝑘𝜋), 𝑘 = 0, 1

Portanto, os dois possíveis valores da nossa expressão são:

−𝑐𝑖𝑠 (𝜋/2) = −𝑖

−𝑐𝑖𝑠 (3𝜋/2) = 𝑖