GABARITO: ALTERNATIVA B

Temos duas progressões aritméticas:

(𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, 𝑎₄, … ) 𝑃𝐴 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑟

(𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃, 𝑏₄, … ) 𝑃𝐴 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑞

Do enunciado, temos a sequência:

(𝑎₁𝑏₁, 𝑎₂𝑏₂, 𝑎₃𝑏₃, … ) = (3053, 3840, 4389, … )

⇒ 𝑎₁𝑏₁ = 3053

𝑎₂𝑏₂ = (𝑎₁ + 𝑟)(𝑏₁ + 𝑞) = 𝑎₁𝑏₁ + 𝑎₁𝑞 + 𝑏₁𝑟 + 𝑟𝑞

𝑎₂𝑏₂ − 𝑎₁𝑏₁ = 𝑎₁𝑞 + 𝑏₁𝑟 + 𝑟𝑞

𝑎₁𝑞 + 𝑏₁𝑟 + 𝑟𝑞 = 3840 − 3053 = 787

⇒ 𝑎₁𝑞 + 𝑏₁𝑟 = 787 − 𝑟𝑞

𝑎₃𝑏₃ = (𝑎₁ + 2𝑟)(𝑏₁ + 2𝑞) = 𝑎₁𝑏₁ + 2(𝑎₁𝑞 + 𝑏₁𝑟) + 4𝑟𝑞

𝑎₃𝑏₃ − 𝑎₁𝑏₁ = 2(𝑎₁𝑞 + 𝑏₁𝑟) + 4𝑟𝑞

4389 − 3053 = 2(787 − 𝑟𝑞) + 4𝑟𝑞

1336 = 1574 + 2𝑟𝑞

⇒ 𝑟𝑞 = −119

𝑎₁𝑞 + 𝑏₁𝑟 = 787 − (−119)

⇒ 𝑎₁𝑞 + 𝑏₁𝑟 = 906

O número pedido é 𝑎₇𝑏₇:

𝑎₇𝑏₇ = (𝑎₁ + 6𝑟)(𝑏₁ + 6𝑞) = 𝑎₁𝑏₁ + 6(𝑎₁𝑞 + 𝑏₁𝑟) + 36𝑟𝑞

𝑎₇𝑏₇ = 3053 + 6(906) + 36(−119)

𝑎₇𝑏₇ = 3053 + 5436 − 4284

∴ 𝑎₇𝑏₇ = 4205