GABARITO: ALTERNATIVA B

O domínio da função f acima são todos os reais x que garantem a existência da função f. No caso, como ela é uma soma de logs, cada logaritmo acima na base 10 precisa existir. Isso quer dizer que seus logaritmandos têm de ser ambos positivos:

-x² + 6x + 16 > 0 e x² - 6x + 8 > 0

Isso significa que resolveremos ambas as desigualdades e depois faremos a interseção das soluções, pois a solução final tem que satisfazer ambas inequações. Começando pela primeira:

-x² + 6x + 16 > 0

Δ = 6² - 4 ⋅ (-1) ⋅ 16 = 36 + 64 = 100

As raízes de -x² + 6x + 16 = 0 são, portanto:

A concavidade da parábola -x² + 6x + 16 é para baixo. Portanto, ela só terá sinal positivo para os valores de x entre as suas duas raízes:

-x² + 6x + 16 > 0 ⇒ (-2 < x < 8)

Agora, analisando a segunda inequação:

x² - 6x + 8 > 0

Δ = 6² - 4 ⋅ 8 = 36 - 32 = 4

Raízes de x² - 6x + 8 = 0:

Como a concavidade da parábola x² - 6x + 8 é para cima, ela só assumirá valores positivos para valores de x fora da região entre as raízes, isto é:

x² - 6x + 8 > 0 ⇒ (x < 2 ou x > 4)

Fazendo a interseção das duas soluções emolduradas acima:

-2 < x < 2 ou 4 < x < 8