GABARITO: ALTERNATIVA A.

Temos a figura acima (fora de escala), em que 𝑯 é o pé da altura relativa a 𝑫𝑪 no triângulo 𝑶𝑫𝑪. Além disso, seja

𝑫𝑪 = 𝟐𝒙

Como o quadrilátero é inscritível, temos que

∠𝑨𝑫𝑩 = ∠𝑨𝑪𝑩; ∠𝑫𝑩𝑪 = ∠𝑪𝑨𝑫

⇒△ 𝑩𝑬𝑪~ △ 𝑨𝑬𝑫

⇒ 𝑩𝑬/𝑨𝑬 = 𝑬𝑫/𝑬𝑪 ⇒ 𝑬𝑪 = 𝟒/𝟐 ⋅ 𝟓 = 𝟏𝟎

⇒ 𝑩𝑬/𝑩𝑪 = 𝑨𝑬/𝑨𝑫 ⇒ 𝑨𝑫 = 𝟕, 𝟓 /𝟓 ⋅ 𝟐 = 𝟑

Assim, no triângulo 𝑨𝑫𝑪, podemos usar o teorema de Stewart para o cálculo de cevianas na ceviana 𝑫𝑬, ou seja,

𝑫𝑪² ⋅ 𝑨𝑬 − 𝑫𝑬² ⋅ 𝑨𝑪 + 𝑨𝑫² ⋅ 𝑬𝑪 = 𝑨𝑬 ⋅ 𝑬𝑪 ⋅ 𝑨𝑪

⇒ (𝟐𝒙)² ⋅ 𝟐 − 𝟒²⋅ 𝟏𝟐 + 𝟑²⋅ 𝟏𝟎 = 𝟐 ⋅ 𝟏𝟐 ⋅ 𝟏𝟎

⇒ 𝟖𝒙² − 𝟏𝟗𝟐 + 𝟗𝟎 = 𝟐𝟒𝟎 ⇒ 𝟖𝒙² = 𝟐𝟒𝟎 − 𝟗𝟎 + 𝟏𝟗𝟐 = 𝟑𝟒𝟐

⇒ 𝟒𝒙² = 𝟏𝟕𝟏 ⇒ 𝒙 = √(𝟏𝟕𝟏 /𝟐)

Agora, no triângulo 𝑶𝑯𝑫, temos, pelo Teorema de Pitágoras, que

𝒙² + 𝟐, 𝟓² = 𝑹² ⇒ 𝑹² = 𝟏𝟕𝟏/𝟒 + 𝟐𝟓/𝟒 = 𝟏𝟗𝟔/𝟒 = 𝟒𝟗

⇒ 𝑹 = √𝟒𝟗 = 𝟕