GABARITO: ALTERNATIVA C

Usando a identidade trigonométrica sen² 𝑥 + cos² 𝑥 = 1:

2𝑠𝑒𝑛²𝑥 − cos 𝑥 − 1 ≥ 0 ⇔ 2 ⋅ (1 − cos² 𝑥) − cos 𝑥 − 1 ≥ 0 ⟺ 2 cos² 𝑥 + cos 𝑥 − 1 ≤ 0

Olhando a expressão no membro direito da última desigualdade como uma quadrática em cos 𝑥, calculamos o determinante Δ:

Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 1² − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1) = 9.

As raízes do polinômio 𝑝(𝑦) = 2𝑦² + 𝑦 − 1 são:

𝑦₁ = (−𝑏−√Δ)/2𝑎 e 𝑦₂ = (−𝑏+√Δ)/2𝑎 ⇒ 𝑦₁ = (−1−3)/(2⋅2) = −1 e 𝑦₂ = (−1+3)/(2⋅2) = 1/2

Como 𝑎 = 2 > 0, o gráfico de 𝑝(𝑦) é uma parábola de concavidade para cima, em forma de U, com raízes −1 e 1/2. Assim, 2 cos² 𝑥 + cos 𝑥 − 1 ≤ 0 ⟺ cos 𝑥 está entre −1 e 1/2, isto é, cos 𝑥 ∈ [−1, 1/2]. Na figura abaixo vemos que os valores permitidos são, considerando 𝑥 ∈ ]0, 2𝜋], 𝑆 = [𝜋/3, 5𝜋/3].