Um conjunto óptico é formado por uma lente convergente e um prisma de Amici, conforme mostra a Figura 1. O conjunto está totalmente integrado, sendo formado pelo mesmo vidro. A lente possui centro óptico O e foco F situado sobre a face-hipotenusa do prisma. Nesse prisma, os raios incidentes sobre a face-hipotenusa sofrem reflexão interna total. Uma lanterna cilíndrica muito potente, com potência óptica de P = π√3 W e diâmetro d = 10 cm, gera raios de luz paralelos ao eixo principal da lente. A lanterna está solidária ao sistema óptico e seus raios são focalizados pela lente e refletidos pelo prisma, até a sua face-cateto plana, saindo do prisma e projetando a luz sobre um anteparo plano alinhado verticalmente.

Conforme mostra a Figura 2, no intervalo 0 ≤ t < 12 s, todo o conjunto óptico começa a girar, a partir do instante em que P coincide com T, em velocidade angular constante ω = π/36 rad/s. Dessa forma, o contorno da luz projetada no anteparo passa a ser uma curva plana, conhecida na matemática.

Diante do exposto, determine: 

a) o ângulo de abertura θ do cone formado na saída do prisma, quando o índice de refração do conjunto óptico é o mínimo para que o feixe luminoso seja totalmente refletido na face hipotenusa; 

b) a expressão da velocidade escalar v(t) com que o ponto P (interseção do eixo do cone com o anteparo) desloca-se verticalmente ao longo do anteparo; e 

c) a densidade de potência, em W/m², da luz projetada no anteparo, em t = 9 s. Neste caso, considere que todas as dimensões do prisma são muito pequenas em relação à distância para o anteparo, ou seja, o ângulo de abertura é θ ao longo de todo o cone de saída, a partir de F. 

Dados:

• o meio externo é o ar: n1 = 1;

•  = 5(1 + 2√2) cm; e

• a separação horizontal entre o foco F da lente e o anteparo, no ponto T, é  =10 m.

Observação:

• a linha , prolongamento de , é o eixo do cone;

• o ângulo θ é o ângulo entre o eixo e qualquer geratriz do cone de luz de saída do prisma; e

• desconsidere qualquer perda da intensidade luminosa ao longo de todo o percurso até o anteparo.