GABARITO: ALTERNATIVA D

Primeiramente, vamos verificar a condição de existência nos reais.

O denominador deve ser diferente de zero.

Veja que -4𝑥² - 7𝑥 + 4 tem delta negativo, o que garante que seu valor, para z real, nunca será zero.

Perceba também, que o coeficiente líder é negativo, o que indica que a concavidade está voltada para baixo. Com isso, para todo x real:

-4𝑥² + 7𝑥 -4 < 0

Então, para satisfazer a inequação, basta que o numerador seja positivo:

𝑥⁴ - 7𝑥³ + 17𝑥² - 17𝑥 + 6 > 0

Iremos fatorar esse polinômio em fatores de 1º grau.

Perceba que a soma dos coeficientes é igual a zero, o que indica que 𝑥 = 1 é uma raiz.

Dividindo o polinômio por (X – 1), achamos que:

𝑥⁴ - 7𝑥³ + 17𝑥² - 17𝑥 + 6 = (𝑥 - 1)(𝑥³ - 6𝑥² + 11𝑥 - 8)

A soma dos coeficientes de 𝑥³ - 6𝑥 ² + 11𝑥 - 8 também é igual a zero, o que indica que 1 é raiz dupla.

Logo,

𝑥⁴ - 7𝑥³ + 17𝑥² - 17𝑥 + 6 = (𝑥 - 1)².(𝑥² - 5𝑥 + 6)

As raízes da equação do segundo grau, 𝑥² - 5𝑥 + 6, podem ser calculadas por Bhaskara.

𝑥⁴ - 7𝑥³ + 17𝑥² - 17𝑥 + 6 = (𝑥 - 1)².(𝑥 - 2)(𝑥 - 3)

Assim,

(𝑥 - 1)².(𝑥 -2 )(𝑥 -3 ) > 0

Mas, veja que, SEMPRE temos que (𝑥 - 1)² ≥ 0

Logo, 𝑥 ≠ 1

Ficamos com:

(𝑥2)(𝑥 - 3) > 0

O que resulta em:

𝑥<2 ou 𝑥>3

Da interseção, o conjunto solução será:

S = ] -∞; 1[ ∪ ]1; 2┤[ ∪ ]3; ∞[

Com isso, o conjunto complementar é:

[2, 3] ∪ {1}