GABARITO: ALTERNATIVA B

Veja que o triângulo 𝐴𝐵𝑂₁ é isósceles pois 𝑂₁𝐴 = 𝑂₁𝐵 = 16. Portanto, se chamarmos de 𝑋 o ponto médio de 𝐴𝐵, 𝑂₁𝑋será tanto a mediana, quanto a altura e bissetriz do triângulo 𝐴𝐵𝑂₁. Portanto, 𝑂₁𝑋⊥𝐴𝐵.

Do mesmo modo, veja que o triângulo 𝐴𝐵𝑂₂ é isósceles pois 𝑂₂𝐴=𝑂₂𝐵=12. Portanto, sendo 𝑋 o ponto médio de 𝐴𝐵, 𝑂₂𝑋será tanto a mediana, quando a altura e bissetriz do triângulo 𝐴𝐵𝑂₂. Portanto, 𝑂₂𝑋⊥𝐴𝐵. Assim, mostramos que a reta que liga os dois centros 𝑂₁ e 𝑂₂ é perpendicular à corda em comum 𝐴𝐵 e passa pelo seu centro 𝑋.

O enunciado afirma que 𝑂₁𝑂₂=20. Portanto, vemos que os lados do triângulo 𝑂₁𝐴𝑂₂ seguem a proporção do triângulo pitagórico, ou seja, 20:16:12 = 5:4:3. Portanto, satisfazem o teorema de Pitágoras:

20² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400

Desse modo, o triângulo 𝑂₁𝐴𝑂₂ é retângulo em 𝐴 e, portanto:

𝑠𝑒𝑛 (∠𝐴𝑂₁𝑂₂) = 𝐴𝑂₂ / 𝑂₁𝑂₂ =12 / 20 = 3/5

Por outro lado, no triângulo 𝑂₁𝐴𝑋, claramente ∠𝐴𝑂₁𝑋=∠𝐴𝑂₁𝑂₂

𝑠𝑒𝑛(∠𝐴𝑂₁𝑋) = 𝐴𝑋 / 𝑂₁𝐴 = 𝐴𝑋/16 ⇒ 𝐴𝑋/16 = 3/5 ⇒ 𝐴𝑋 = 48/5

Porém, como 𝑋 é ponto médio de 𝐴𝐵:

𝐴𝐵 = 2 ⋅ 𝐴𝑋 = 96/5