GABARITO: ALTERNATIVA D

Como estamos trabalhando com o sistema de numeração decimal, podemos escrever:

(𝑎𝑏)² − (𝑏𝑎)² = (𝑐𝑐)²

(𝑎 ⋅ 10 + 𝑏)² − (𝑏 ⋅ 10 + 𝑎)² = (𝑐 ⋅ 10 + 𝑐)²

100𝑎² + 20𝑎𝑏 + 𝑏² − (100𝑏² + 20𝑎𝑏 + 𝑎²) = (11𝑐)²

100𝑎² + 20𝑎𝑏 + 𝑏² − 100𝑏² − 20𝑎𝑏 − 𝑎² = 121𝑐²

99𝑎² − 99𝑏² = 121𝑐²

99(𝑎² − 𝑏²) = 121𝑐²

9(𝑎² − 𝑏²) = 11𝑐²

Sendo 𝑎, 𝑏, 𝑐 algarismos distintos do sistema decimal, temos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Para a equação acima, devemos ter:

𝑐² = 9 ⇒ 𝑐 = 3

𝑎² − 𝑏² = 11 ⇒ 𝑎² = 11 + 𝑏²

Agora devemos testar as possibilidades e verificar qual valor de 𝑏 implica em 𝑎² = 11 + 𝑏² ser um quadrado perfeito:

Das possibilidades acima, apenas 𝑏 = 5 torna 𝑎² um quadrado perfeito. Logo, devemos ter 𝑏 = 5 e 𝑎² = 36 ⇒ 𝑎 = 6. A soma pedida é 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 6 + 5 + 3 = 14.