Vamos analisar o enunciado da questão: “Os ângulos da base 𝐴𝐷 do trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷 são iguais a 2𝛼 e 2𝛽.” Nesse trecho há apenas a explicação de que vamos tratar de um trapézio, cujos ângulos da base 𝐴𝐷 receberam suas representações (2𝛼 𝑒 2𝛽). Em seguida: “Sabendo que o trapézio é circunscritível, encontre o valor de 𝐵𝐶/𝐴𝐷 em função de 𝛼 e 𝛽”. Nessa última parte do enunciado, é dito que o trapézio é circunscritível, isto é, pode-se escrever uma circunferência que tangencia todos os lados do trapézio internamente, como mostra a figura abaixo:

A questão pede a relação 𝐵𝐶/𝐴𝐷 em função de 𝛼 𝑒 𝛽, portanto, vamos buscar colocar os lados 𝐵𝐶 𝑒 𝐴𝐷 em função de 𝛼 𝑒 𝛽, a partir de uma análise geométrica do problema.

Inicialmente, veja que a questão fornece um trapézio qualquer, pois não conhecemos nada sobre os ângulos da base. O que sabemos é que as bases são paralelas, o que se deduz das propriedades de um trapézio. Depois ela afirma que o trapézio é circunscritível, como já foi falado acima.

E aqui vai uma dica: sempre que uma questão falar em circunscrição, a primeira coisa que precisa ser feita é ligar o centro da circunferência aos pontos de tangência com os lados do polígono, pois é o que se pode usar como argumento geométrico: que os lados do polígono são tangentes à circunferência e, portanto, tangentes ao raio da circunferência naquele ponto. Vejamos isso graficamente:

Agora, tracemos os segmentos 𝐴𝑂, 𝐵𝑂, 𝐶𝑂 𝑒 𝐷𝑂 a fim de obtermos vários triângulos retângulos, dos quais sabemos várias relações. A imagem fica:

Agora, façamos as deduções geométricas desse desenho:

𝐴𝐵𝐶𝐷 é 𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜 ⇒ 𝐴𝐷//𝐵𝐶

∠𝐴𝐵𝐶 𝑒 ∠𝐵𝐴𝐷 = 2𝛼 𝑠ã𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 ⇒ ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐴𝐷 = 180°

⇒ ∠𝐴𝐵𝐶 + 2𝛼 = 180° ⇒ ∠𝐴𝐵𝐶 = 180 − 2𝛼 (𝑰)

No quadrilátero 𝑃𝐵𝑄𝑂, a soma dos ângulos internos deve dar 360°. Logo:

∠𝑃𝑂𝑄 + ∠𝑂𝑃𝐵 + ∠𝑃𝐵𝑄 + ∠𝐵𝑄𝑂 = 360° (𝑰𝑰)

Mas ∠𝑂𝑃𝐵 = ∠𝐵𝑄𝑂 = 90° e ∠𝑃𝐵𝑄 = ∠𝐴𝐵𝐶 (𝑉𝑒𝑗𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎). Assim, de (𝑰𝑰):

⇒ ∠𝑃𝑂𝑄 + 90° + ∠𝐴𝐵𝐶 + 90° = 360° ⇒ ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝑃𝑂𝑄 = 180°. Em (𝑰):

⇒ 180° − 2𝛼 + ∠𝑃𝑂𝑄 = 180° ⇒ ∠𝑃𝑂𝑄 = 2𝛼 (𝑰𝑰𝑰)

∠𝐵𝐶𝐷 e ∠𝐶𝐷𝐴 = 2𝛽 𝑠ã𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 ⇒ ∠𝐶𝐷𝐴 + ∠𝐵𝐶𝐷 = 180°

⇒ ∠𝐵𝐶𝐷 + 2𝛽 = 180° ⇒ ∠𝐵𝐶𝐷 = 180 − 2𝛽 (𝑰𝑽)

No quadrilátero 𝑆𝑂𝑄𝐶, a soma dos ângulos internos deve dar 360°. Logo:

∠𝑆𝑂𝑄 + ∠𝑂𝑄𝐶 + ∠𝑄𝐶𝑆 + ∠𝐶𝑆𝑂 = 360° (𝑽)

Mas ∠𝑂𝑄𝐶 = ∠𝐶𝑆𝑂 = 90° e ∠𝑄𝐶𝑆 = ∠𝐵𝐶𝐷 (𝑉𝑒𝑗𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎). Assim, de (𝑽):

⇒ ∠𝑆𝑂𝑄 + 90° + ∠𝐵𝐶𝐷 + 90° = 360° ⇒ ∠𝐵𝐶𝐷 + ∠𝑆𝑂𝑄 = 180°.

De (𝑰𝑽):

⇒ 180° − 2𝛽 + ∠𝑆𝑂𝑄 = 180° ⇒ ∠𝑆𝑂𝑄 = 2𝛽 (𝑽𝑰)

Assim, a partir de (𝑰𝑰𝑰) 𝒆 (𝑽𝑰), completamos a figura da seguinte forma:

Agora, veja os seguintes pares de triângulos:

Δ𝐴𝑃𝑂 𝑒 Δ𝐴𝑇𝑂, Δ𝐷𝑇𝑂 𝑒 Δ𝐷𝑆𝑂, Δ𝑆𝐶𝑂 𝑒 Δ𝐶𝑄𝑂, Δ𝑄𝐵𝑂 𝑒 Δ𝐵𝑃𝑂

Observe que todos estes são triângulos retângulos e que cada par possui uma hipotenusa e um cateto em comum (o raio do círculo). Isso implica que cada par descrito anteriormente estabelece uma relação de congruência, isto é, de igualdade. Pois se dois triângulos retângulos possuem a mesma hipotenusa e o mesmo cateto, isso implica que o outro cateto será o mesmo também para os dois, fato este garantido pelo Teorema de Pitágoras. Podemos garantir a congruência também pelo caso (LAL – Lado, Ângulo, Lado: cateto, ângulo reto, cateto 𝑟) em cada par. Vejamos isso apenas para um par, o restante será análogo:

Nesse caso, estamos analisando o par de triângulos Δ𝐴𝑃𝑂 𝑒 Δ𝐴𝑇𝑂. Teorema de Pitágoras no Δ𝐴𝑃𝑂:

𝐴𝑃² + 𝑟² = 𝐴𝑂²

Teorema de Pitágoras no Δ𝐴𝑇𝑂:

𝐴𝑇² + 𝑟² = 𝐴𝑂²

Subtraindo a penúltima da última equação:

⇒ 𝐴𝑃² = 𝐴𝑇²

Como medida de lados de polígono são sempre positivas, podemos tirar a raiz de ambos os lados:

𝐴𝑃 = 𝐴𝑇.

Portanto, o par Δ𝐴𝑃𝑂 e Δ𝐴𝑇𝑂 possui relação de igualdade. Assim, como todos os demais.

Dessa maneira, podemos concluir que:

∠𝑃𝐴𝑂 = ∠𝐴𝑂𝑇 = 𝛼

A partir dessas deduções, completamos novamente a figura:

Lembrando que a questão pede a razão 𝐵𝐶/𝐴𝐷, vamos tentar escrever esses lados em termos de 𝛼 𝑒 𝛽. No Δ𝑂𝐵𝑄:

𝑡𝑔𝛼 = 𝐵𝑄/𝑟 ⇒ 𝐵𝑄 = 𝑟 ⋅ 𝑡𝑔𝛼

Já no Δ𝑂𝑄𝐶:

𝑡𝑔𝛽 = 𝑄𝐶/𝑟 ⇒ 𝑄𝐶 = 𝑟 ⋅ 𝑡𝑔𝛽

Mas, logicamente, 𝐵𝐶 = 𝐵𝑄 + 𝑄𝐶

⇒ 𝐵𝐶 = 𝑟 ⋅ 𝑡𝑔𝛼 + 𝑟 ⋅ 𝑡𝑔𝛽 = 𝑟(𝑡𝑔𝛼 + 𝑡𝑔𝛽)

Agora, vamos achar 𝐴𝐷. No Δ𝐴𝑂𝑇:

𝑡𝑔𝛼 = 𝑟/𝐴𝑇 ⇒ 𝐴𝑇 = 𝑟/𝑡𝑔𝛼

No Δ𝐷𝑇𝑂:

𝑡𝑔𝛽 = 𝑟/𝑇𝐷 ⇒ 𝑇𝐷 = 𝑟/𝑡𝑔𝛽

Mas, logicamente, 𝐴𝐷 = 𝐴𝑇 + 𝑇𝐷