GABARITO: ALTERNATIVA A

Vamos desenhar a seção meridiana desse cone de ângulo de vértice igual a 90°, bem como o corte da esfera inscrita nesse cone:

Veja que nos pontos de tangência, os raios são perpendiculares à geratriz. Além disso, como 𝐵𝐹𝐷𝐺 é um quadrilátero com todos os ângulos retos e lados 𝐹𝐷 = 𝐷𝐺 = 𝑟, então ele é um quadrado. Portanto, 𝐵𝐹 = 𝐵𝐺 = 𝑟. Portanto, como 𝐵𝐷 é diagonal do quadrado, então 𝐵𝐷 = 𝑟√2. Ainda, veja que o triângulo 𝐵𝐸𝐶 é retângulo em E e possui ângulos internos iguais a 45°, pois 𝐵𝐷 é bissetriz. Assim, 𝐵𝐸 = 𝐶𝐸 = 𝑟√2+ 𝑟 = 𝑟(1 + √2).

Portanto, o raio da base desse cone é 𝑟(1 + √2) e sua geratriz é 𝐵𝐶 = √2𝐶𝐸 = 𝑟(2 + √2). Sendo assim, a área total desse cone é:

A área total da circunferência inscrita é 4𝜋𝑟². Logo, a razão pedida é:

Fazendo essa conta:

4(3 − 2√2)(√2 − 1) = 4(3√2 − 3 −4 + 2√2) = 20√2 − 28