GABARITO: ALTERNATIVA C

Do enunciado, temos:

𝑋² − 𝑌² = 2017

Vamos fatorar a equação:

(𝑋 − 𝑌)(𝑋 + 𝑌) = 2017

Analisando o número 2017, podemos perceber que ele é um número primo. Então, ele é divisível por 1 e por ele mesmo. Vamos analisar o produto (𝑋 − 𝑌)(𝑋 + 𝑌):

𝑋, 𝑌 ∈ ℕ ⇒ 𝑋 − 𝑌 < 𝑋 + 𝑌

A expressão (𝑋 − 𝑌)(𝑋 + 𝑌) é um produto de fatores naturais e como 2017 é primo, podemos afirmar que esse produto possuirá a forma:

(𝑋 − 𝑌)(𝑋 + 𝑌) = 1 ∙ 2017

Então, podemos escrever:

𝑋 − 𝑌 = 1

𝑋 + 𝑌 = 2017

Somando as duas equações, encontramos 𝑋:

2𝑋 = 2018 ⇒ 𝑋 = 1009

E 𝑌:

𝑋 − 𝑌 = 1 ⇒ 𝑌 = 𝑋 − 1 ⇒ 𝑌 = 1008

Com os valores de 𝑋 e 𝑌, vamos encontrar o valor da expressão pedida:

𝑋² + 𝑌² = 1009² + 1008² = 1018081 + 1016064 = 2034145

∴ 𝑋² + 𝑌² = 2034145