GABARITO: ALTERNATIVA D

Espaço amostral (Ω): A quantidade de números que há entre 30 e 300, incluindo esses números. 𝑛(Ω) = 300 − 30 + 1 = 271.

Evento M: Sortear um número múltiplo de 3 ou de 7.

A quantidade de elementos da união de dois conjuntos é dada pela seguinte fórmula:

𝑛(M) = 𝑛(AUB) = 𝑛(A)+ 𝑛(B) − 𝑛(A ∩ B), onde o conjunto A é o conjunto dos múltiplos de 3 entre 30 e 300, incluindo esses extremos, e o conjunto B é o conjunto dos múltiplos de 7 entre 30 e 300 e, A ∩ B é o conjunto dos múltiplos de 3 e de 7, ou seja, os múltiplos de 21 entre 30 e 300.

Observe que há números que são múltiplos de três e de sete, por isso devemos retirar a interseção dos dois conjuntos para evitarmos a repetição de elementos.

Múltiplos de 3 do 30 até o 300 = {30, 33, 36, 39, 42 ..., 300}, observe que a sequência forma uma P.A de razão 3 e primeiro termo igual a 3.

Fórmula do termo geral da P.A = 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 + (𝑛 − 1)𝑟

Usando fórmula do termo geral da P.A temos: 300 = 30 + (𝑛 − 1)3 ⇒ 270 = 3(𝑛 −1)

⇒ (𝑛 − 1) = 90 ⇒ 𝑛 = 91

Múltiplos de 7 do 30 até o 300 = {35, 42, 49, ..., 294}, observe que a sequência forma uma P.A de razão 7 e primeiro termo igual a 35.

Usando fórmula do termo geral da P.A temos: 294 = 35 + (𝑛 − 1)7 ⇒ 259 = 7(𝑛 − 1)

⇒ (𝑛 − 1) = 37 ⇒ 𝑛 = 38

Múltiplos de 21 do 30 até o 300 = {42, 63, 84, ..., 294}, observe que a sequência forma uma P.A de razão 21 e primeiro termo igual a 42.

Usando fórmula do termo geral da P.A temos: 294 = 42 + (𝑛 − 1)21 ⇒ 252 = 21(𝑛 − 1)

⇒ (𝑛 − 1) = 12 ⇒ 𝑛 = 13

𝑛(M) = 𝑛(AUB) = 𝑛(A) + 𝑛(B)− 𝑛(A ∩ B) ⇒ 𝑛(M) = 91 + 38− 13 ⇒ 𝑛(M) = 116

A probabilidade de ocorrer o evento M é dada por:

𝑃(𝑀) = 𝑛(𝑀)/𝑛(Ω) = 116/271