ALTERNATIVA CORRETA: E

Primeiramente, note que os conjuntos 𝑋 ∩ 𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ e 𝑋ᶜ ∩ 𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ são disjuntos e, que:

(𝑋 ∩ 𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ) ∪ (𝑋ᶜ ∩ 𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ) = 𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ

E, aplicando De Morgan:

𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ = (𝑌 ∪ 𝑍)ᶜ

Portanto:

𝑛((𝑌 ∪ 𝑍)ᶜ) = 𝑛(𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ) = 𝑛(𝑋 ∩ 𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ) + 𝑛(𝑋ᶜ ∩ 𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ)

⇒ 𝑛((𝑌 ∪ 𝑍)ᶜ) = 12 + 𝑛(𝑋ᶜ ∩ 𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ)

Só que 𝑛((𝑌 ∪ 𝑍)ᶜ) = 𝑛(𝑈) − 𝑛(𝑌 ∪ 𝑍) = 500 − 𝑛(𝑌 ∪ 𝑍). Logo:

500 − 𝑛(𝑌 ∪ 𝑍) = 12 + 𝑛(𝑋ᶜ ∩ 𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ)

⇒ 𝑛(𝑋ᶜ ∩ 𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ) = 488 − 𝑛(𝑌 ∪ 𝑍)

Assim, para achar o que se pede, basta calcular 𝑛(𝑌 ∪ 𝑍), que pelo princípio da inclusão exclusão é:

𝑛(𝑌 ∪ 𝑍) = 𝑛(𝑌) + 𝑛(𝑍) − 𝑛(𝑌 ∩ 𝑍) = 130 + 270 − 20 = 380

Portanto:

𝑛(𝑋ᶜ ∩ 𝑌ᶜ ∩ 𝑍ᶜ) = 488 − 380 = 108