GABARITO: ALTERNATIVA E

Precisamos encontrar o centro e o raio da circunferência. Uma forma de fazer isso é lembrar, da geometria plana, que o circuncentro é o encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.

Vamos nomear os pontos: 𝐴 = (6,7),𝐵 = (4,1) 𝑒 𝐶 = (8,5).

Sendo assim, vamos encontrar as mediatrizes das retas suporte dos lados 𝐴𝐵, que vamos chamar de reta 𝐴𝐵 e do lado 𝐵𝐶, analogamente, reta 𝐵𝐶.

Para encontrar a mediatriz, seguiremos os seguintes passos:

1) Calcular o ponto médio do segmento:

1.1) Ponto médio de 𝐴𝐵:

1.2) Ponto médio de 𝐵𝐶:

2) Calcular o coeficiente angular da reta suporte do segmento.

2.1) Coeficiente angular de

2.2) Coeficiente angular de

Determinar o coeficiente angular da mediatriz (𝑚′) e encontrar a reta:

3.1) Mediatriz de 𝐴𝐵:

3.2) Mediatriz de 𝐵𝐶:

O centro da circunferência é a intersecção dessas retas. Seja

o centro dessa circunferência, devemos ter:

Portanto 𝐶 = (5,4).

Para descobrir seu raio, basta calcular a distância de 𝐶 a um dos vértices:

Portanto, a circunferência é:

𝑟: (𝑥 − 5)² + (𝑦 − 4)² = 10

Seja

o ponto de tangência. Temos que

Substituindo na equação da circunferência:

Temos então dois candidatos a ponto 𝑇:

𝑇₁ = (2,5) 𝑒 𝑇₂ = (8,5)

As retas que passam por (0, −1) e 𝑇₁ e (0, −1) e 𝑇₂ são, respectivamente:

Suas respectivas distâncias ao ponto 𝐶, centro da circunferência:

Para que reta seja tangente a circunferência, sua distância ao centro da mesma deve ser igual ao raio. Isso somente ocorre para a reta que passa por (0, −1) e 𝑇₁. Calculando o que é pedido no enunciado, temos: