GABARITO: ALTERNATIVA D

Antes de qualquer coisa, vamos fazer algumas substituições que vão simplificar bastante o problema. Divida a equação da circunferência por 36, para normalizar os termos quadráticos:

Note que o enunciado fixou a razão 𝑚/𝑛 . Ou seja, ele também ficou a razão

De maneira esperta, podemos fazer a seguinte substituição de variáveis:

Que é válida, pois preserva a razão estabelecida no enunciado. Assim a equação da circunferência fica:

𝑥² + 𝑦² − 4𝑘𝑥 + 6𝑘𝑦 − 23/36 = 0 ⇔ (𝑥 − 2𝑘)² + (𝑦 + 3𝑘)² − 23/36 − 4𝑘² − 9𝑘² = 0

Logo, seu centro é: 𝐶 = (2𝑘, −3𝑘).

Como o raio da circunferência é 1, devemos ter:

1² = 23/36 + 4𝑘² + 9𝑘² = 13𝑘² + 23/36 ⇒ 13𝑘² = 36/36 − 23/36 = 13/36 ⇒ 𝑘² = 1/36 ⇒ 𝑘 = ± 1/6

Como ela tem centro no segundo quadrante, 𝑘 < 0, ou seja, 𝑘 = − 1/6.

Assim, teremos a equação da circunferência:

Sua intersecção com o eixo 𝑦 ocorre quando 𝑥 = 0. Logo:

Sem perda de generalidade, seja

Teremos

Observe o diagrama abaixo:

Dele, temos que a altura do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 é a coordenada 𝑥 de 𝐶. Assim: