GABARITO: ALTERNATIVA E

Primeiramente, calculamos as raízes de 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 𝛼. 𝑥 = 𝑥(𝑥 + 𝛼)

𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥(𝑥 + 𝛼) = 0 ⇒ 𝑥₁ = 0 𝑒 𝑥₂ = −𝛼

Como uma parábola é simétrica, o ponto x de máximo será o ponto médio entre as duas raízes (𝑥𝑣 é calculado assim):

Assim, sabendo o 𝑥𝑥𝑣𝑣 da função 𝑓 basta substituirmos na expressão para sabermos seu valor mínimo em função de 𝛼 (que é dado no enunciado como -1)

Porém, como a questão fala que o ponto de mínimo (𝑥𝑣) é negativo, então 𝛼𝛼 > 0. Logo:

De mesmo modo, podemos achar o 𝑥𝑥𝑣𝑣 da função 𝑔(𝑥) = −𝑥² − 𝛽. 𝑥, porém vamos usar a expressão direta já demonstrada nesse curso:

Assim, achamos o ponto de máximo de 𝑔(𝑥). Agora, substituindo na expressão, obteremos esse valor máximo em função de 𝛽 (no enunciado é dito que o valor máximo é 9/4):

Entretanto, o enunciado diz que o ponto de máximo da 𝑔 (𝑦𝑣) é positivo, o que nos indica que 𝛽 < 0. Portanto, 𝛽 = −3 .

Agora que temos as expressões completas das funções 𝑓 𝑒 𝑔 vamos agora fazer a composição:

𝑓 𝑜 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥)² + 2. 𝑔(𝑥) = [−(𝑥² − 3𝑥)]² + 2[−(𝑥² − 3𝑥)]

⇒ 𝑓 𝑜 𝑔(𝑥) = (𝑥² − 3𝑥)² − 2(𝑥² − 3𝑥)

Para calcular o que se pede na questão, basta substituir 𝑥 = 2:

𝑓 𝑜 𝑔(2) = (22 − 3 ⋅ 2)² − 2(2² − 3 ⋅ 2) = (−2)² − 2 ⋅ (−2) = 8

Gabarito: “e”