GABARITO: ALTERNATIVA D

Quando analisamos a união de conjuntos, podemos notar o seguinte:

𝑛(𝑅 ∪ 𝑆) = 𝑛(𝑅) + 𝑛(𝑆) − 𝑛(𝑅 ∩ 𝑆)

Por que?

𝑛(𝑅) = 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡ã𝑜 𝑒𝑚 𝑅

Porém, perceba que os “elementos que estão em R” são:

𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒𝑚 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑎𝑜 𝑅 + 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒𝑚 𝑎 𝑅 ∩ 𝑆

O mesmo ocorre com o conjunto S. Perceba pelo esquema:

Assim, do enunciado temos:

𝑛(𝑅) = 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐸𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑅 + 𝑛(𝑅 ∩ 𝑆) = 7

𝑛(𝑆) = 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐸𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑆 + 𝑛(𝑅 ∩ 𝑆) = 10

Quando realizamos a união, queremos:

𝑛(𝑅 ∪ 𝑆) = 𝐸𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑅 + 𝐸𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑆 + 𝑛(𝑅 ∩ 𝑆)

Porém, perceba que:

𝑛(𝑅) + 𝑛(𝑆) = 𝐸𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑅 + 𝐸𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑆 + 2𝑛(𝑅 ∩ 𝑆)

Assim, para chegarmos no valor desejado, basta subtrair de cada lado o número de elementos da interseção dos conjuntos:

𝑛(𝑅) + 𝑛(𝑆) − 𝑛(𝑅 ∩ 𝑆) = 𝐸𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑅 + 𝐸𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑆 + 𝑛(𝑅 ∩ 𝑆)

Assim:

𝑛(𝑅 ∪ 𝑆) = 𝑛(𝑅) + 𝑛(𝑆) − 𝑛(𝑅 ∩ 𝑆) = 7 + 10 − 4 = 13