Para demonstrar que (𝑆₁ ∩ 𝑆₂) ⊂ (𝑃₁ ∩ 𝑃₂), devemos mostrar que:

𝑥 ∈ (𝑆₁ ∩ 𝑆₂) ⇒ 𝑥 ∈ (𝑃₁ ∩ 𝑃₂)

Vamos analisar 𝑥 ∈ (𝑆₁ ∩ 𝑆₂). Pela definição do conjunto intersecção, temos:

𝑥 ∈ (𝑆₁ ∩ 𝑆₂) ⇒ 𝑥 ∈ 𝑆₁ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆₂

Mas, do enunciado:

(𝑆₁ ∩ 𝑆₂) ⊂ (𝑃₁ ∪ 𝑃₂)

Dessa forma, temos:

𝑥 ∈ (𝑆₁ ∩ 𝑆₂) ⇒ 𝑥 ∈ (𝑃₁ ∪ 𝑃₂)

E pela definição do conjunto união, temos que 𝑥 ∈ (𝑃₁ ∪ 𝑃₂) implica 𝑥 ∈ 𝑃₁ ou 𝑥 ∈ 𝑃₂.

Devemos analisar cada caso.

I) Suponha 𝑥 ∈ 𝑃₁.

Nesse caso, temos:

Como o enunciado afirma que (𝑃₁ ∩ 𝑆₂) ⊂ 𝑃₂, então:

𝑥 ∈ 𝑃₁ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆₂ ⇒ 𝑥 ∈ (𝑃₁ ∩ 𝑆₂) ⇒ 𝑥 ∈ 𝑃₂

Assim, concluímos que 𝑥 ∈ 𝑃₁ e 𝑥 ∈ 𝑃₂, logo 𝑥 ∈ (𝑃₁ ∩ 𝑃₂).

II) Suponha 𝑥 ∈ 𝑃₂.

Nesse caso, temos:

Como o enunciado afirma que (𝑃₂ ∩ 𝑆₁) ⊂ 𝑃₁, então:

𝑥 ∈ 𝑃₂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆₁ ⇒ 𝑥 ∈ (𝑃₂ ∩ 𝑆₁) ⇒ 𝑥 ∈ 𝑃₁

Assim, concluímos que 𝑥 ∈ 𝑃₁ e 𝑥 ∈ 𝑃₂, logo 𝑥 ∈ (𝑃₁ ∩ 𝑃₂).

Portanto, mostramos que, em qualquer um dos casos, 𝑥 ∈ (𝑆₁ ∩ 𝑆₂) implica 𝑥 ∈ (𝑃₁ ∩ 𝑃₂), ou seja, 𝑥 ∈ (𝑆₁ ∩ 𝑆₂) ⇒ 𝑥 ∈ (𝑃₁ ∩ 𝑃₂).

Ou, podemos escrever:

(𝑆₁ ∩ 𝑆₂) ⊂ (𝑃₁ ∩ 𝑃₂)