(𝑎, 𝑏, 𝑐) é uma PA crescente, vamos escrevê-lo como (𝑏 − 𝑟, 𝑏, 𝑏 + 𝑟), com 𝑟 sua razão.

Para as condições do problema, temos:

cos 𝑎 + cos 𝑏 + cos 𝑐 = 0 ⇒ cos(𝑏 − 𝑟) + cos 𝑏 + cos(𝑏 + 𝑟) = 0

Aplicando as transformações trigonométricas:

cos 𝑏 cos 𝑟 + sen 𝑏 sen 𝑟 + cos 𝑏 + cos 𝑏 cos 𝑟 − sen 𝑏 sen 𝑟 = 0

2 cos 𝑏 cos 𝑟 + cos 𝑏 = 0 ⇒ cos 𝑏 (2 cos 𝑟 + 1) = 0

cos 𝑏 = 0 ou cos 𝑟 =

sen 𝑎 + sen 𝑏 + sen 𝑐 = 0 ⇒ sen(𝑏 − 𝑟) + sen 𝑏 + sen(𝑏 + 𝑟) = 0

sen 𝑏 cos 𝑟 − sen 𝑟 cos 𝑏 + sen 𝑏 + sen 𝑏 cos 𝑟 + sen 𝑟 cos 𝑏 = 0

2 sen 𝑏 cos 𝑟 + sen 𝑏 = 0 ⇒ sen 𝑏 (2 cos 𝑟 + 1) = 0

𝑠𝑒𝑛 𝑏 = 0 ou cos 𝑟 =

Se cos 𝑏 = 0, temos 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ≠ 0, logo, cos 𝑟 = −1/2. Se 𝑠𝑒𝑛 𝑏 = 0, temos, analogamente, cos 𝑟 = −1/2.

Como a PA é crescente, devemos ter 𝑟 > 0, desse modo:

O menor valor possível é:

Gabarito: