GABARITO: ALTERNATIVA E

Sabemos que uma matriz é inversível se, e somente se, o seu determinante é diferente de zero. Então, analisando a afirmação I e II, se det (𝐼ₙ − 𝐵) ≠ 0 e det (𝐼ₙ − 𝐴) ≠ 0, temos que 𝐼ₙ − 𝐵 e 𝐼ₙ − 𝐴 são inversíveis.

O enunciado diz que:

𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝐵

Vamos manipular a equação de modo a encontrar 𝐼 − 𝐴 e 𝐼 − 𝐵:

𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝐵 ⇒ 𝐴 − 𝐴𝐵 + 𝐵 = 0

Subtraindo 𝐼, a matriz identidade 𝑛 𝑥 𝑛, nos dois lados da equação:

𝐴 − 𝐴𝐵 + 𝐵 − 𝐼 = −𝐼 ⇒ 𝐴(𝐼 − 𝐵) − (𝐼 − 𝐵) = −𝐼 ⇒ (𝐴 − 𝐼)(𝐼 − 𝐵) = −𝐼

⇒ (𝐼 − 𝐴)(𝐼 − 𝐵) = 𝐼

Aplicando o determinante, encontramos:

det [(𝐼 − 𝐴)(𝐼 − 𝐵)] = 1 ⇒ det (𝐼 − 𝐴) det (𝐼 − 𝐵) = 1

Logo, analisando a equação acima, temos det (𝐼 − 𝐴) ≠ 0 e det (𝐼 − 𝐵) ≠ 0. Portanto, ambas as matrizes são inversíveis e uma é a inversa da outra (devido ao produto (𝐼 − 𝐴)(𝐼 − 𝐵) = 𝐼).

A afirmação III afirma que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. Sabemos que as matrizes (𝐼 − 𝐴) e (𝐼 − 𝐵) são inversas uma da outra, então:

Portanto, todas as afirmações são verdadeiras.