GABARITO: 𝟏𝟓𝟎

Para que uma função seja sobrejetiva de 𝐵 → 𝐴, não deve sobrar nenhum elemento em 𝐴, ou seja, não deve existir nenhum elemento de 𝐴 que não seja mapeado pela função 𝑓.

Além disso, todos os valores de 𝐵 devem levar a um valor em 𝐴, portanto, podemos visualizar isso como 𝑛(𝐵) setas saindo de 𝐵 e chegando em 𝐴, na qual cada uma dessas setas representa a forma como a função 𝑓 mapeia os valores de 𝐵 em 𝐴.

Então, seja 𝐵 = {𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃, 𝑏₄, 𝑏₅} e 𝐴 = {𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃}, podemos mapear o conjunto 𝐵 em 𝐴 seguindo o seguinte princípio: existem 5 flechas saindo de 𝐵, e devemos dividi-las em 3 grupos não vazios. Então, temos as seguintes possibilidades de grupos:

𝑔₁ = {3 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎𝑠 → 𝑎𝑖, 1 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 → 𝑎𝑗, 1 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 → 𝑎𝑘}

𝑔₂ = {2 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎𝑠 → 𝑎𝑖, 2 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎𝑠 → 𝑎𝑗, 1 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 → 𝑎𝑘} onde 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑗 ≠ 𝑘 e 𝑖 ≠ 𝑘.

Em 𝑔₁, devemos escolher 3 dos 5 elementos de 𝐵, temos

possibilidades, para atingir um dos 3 elementos de 𝐴, temos 3 possibilidades. Daí, restam duas flechas que apontam para os outros dois elementos e podem ser permutadas de 2! formas. Então, temos:

Em 𝑔₂, devemos escolher 2 dos 5 elementos de 𝐵, contudo, devemos dividir por 2! para desconsiderar as permutações, uma vez que devemos escolher duas vezes dessa maneira, então, temos

possibilidades para atingir um dos 3 elementos de 𝐴, então, temos 𝟑 possibilidades. Além disso, restam 3 elementos no conjunto 𝐵 para serem escolhidos, então temos 𝟑 possibilidades de escolher uma flecha saindo de 𝐵, que vai atingir um dos 𝟐 elementos restantes de 𝐴. Por fim, temos 𝟏 possibilidade de escolher 2 elementos entre os 2 restantes que atingirão 𝟏 elemento restante em 𝐴. Portanto, ao todo, temos:

Portanto, ao todo temos:

𝑁(𝑔₁) + 𝑁(𝑔₂) = 60 + 90 = 150