GABARITO: a) 𝒏(𝑪) = 𝟒 b) 𝒏(𝑷(𝑩\𝑪)) = 𝟒𝟎𝟗𝟔.

a) Pelo enunciado, como 𝐶 ⊂ 𝐵 temos: 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑛(𝐶).

Sabemos que 𝑛(𝐵\𝐶) = 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶). Substituindo na equação 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑛(𝐶):

𝑛(𝐵\𝐶) = 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐶)

Mas 𝑛(𝐵\𝐶) = 3𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 6𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐶) = 3𝑛(𝐶) = 6𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

⇒ 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐶) = 3𝑛(𝐶) ⇒ 𝑛(𝐵) = 4𝑛(𝐶)

⇒ 3𝑛(𝐶) = 6𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(𝐶)/2

Só falta descobrir o valor de 𝑛(𝐴) usando [𝑛(𝐴)]² = 𝑛(𝐵) ∙ 𝑛(𝐶).

Substituindo 𝑛(𝐵) = 4𝑛(𝐶):

[𝑛(𝐴)]² = 4𝑛(𝐶) ∙ 𝑛(𝐶) ⇒ [𝑛(𝐴)]² = 4[𝑛(𝐶)]²

Aplicando a raiz quadrada nos dois lados:

⇒ 𝑛(𝐴) = 2𝑛(𝐶)

Vamos chamar 𝑛(𝐶) de 𝑥 e usar a fórmula dos conjuntos 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵).

Substituindo os valores de 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 22, 𝑛(𝐴) = 2𝑛(𝐶), 𝑛(𝐵) = 4𝑛(𝐶), 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(𝐶)/2 e 𝑛(𝐶) = 𝑥 na fórmula:

b) Usando a fórmula de cardinalidade para o conjunto das partes:

Portanto: