GABARITO: ALTERNATIVA C

Do enunciado, 𝑧¹² ∈ ℝ. Isso implica que 𝐼𝑚(𝑧¹²) = 0. Vamos representar 𝑧 em sua forma polar:

𝑧 = |𝑧|𝑐𝑖𝑠𝜃

𝑧¹² = (|𝑧|𝑐𝑖𝑠𝜃)¹² = |𝑧|¹²𝑐𝑖𝑠(12𝜃)

Se 𝐼𝑚(𝑧¹²) = 0, então a parte imaginária de 𝑧¹² é nula. Logo:

𝑠𝑒𝑛(12𝜃) = 0

Sabemos que 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝜋) = 0, 𝑘 ∈ ℤ. Vamos encontrar os valores de 𝜃 que satisfazem a equação:

Lembrando que arg(𝑧) = 𝜃 e o enunciado afirma que arg(𝑧) ∈ (0, 𝝅/2). Temos:

Da informação 𝑅𝑒(𝑧) = 1, podemos escrever 𝑧 em sua forma algébrica:

𝑧 = 1 + 𝑏𝑖

Igualando 𝑧 na forma algébrica com 𝑧 na forma polar:

𝑧 = 1 + 𝑏𝑖 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)

Igualando a parte real do número 𝑧:

A questão pede a soma dos inversos dos possíveis valores de |𝑧| no intervalo determinado. Das condições do problema encontramos 5 possíveis valores para 𝑧 Então a soma é dada por:

Encontramos que 1/|𝑧| = cos 𝜃. Então:

Conhecemos os valores de cos (𝝅/6), cos (𝝅/4) e cos (𝝅/3). Vamos calcular o valor de cos (5𝜋/12) + cos (𝜋/12):

Usando a transformação da soma em produto dos cossenos:

Substituindo os valores em 𝑆:

Aproximando os valores: