GABARITO: ALTERNATIVA A

Note que 2 ≤ |𝑧 − 3 − 4𝑖| ≤ 3 representa duas circunferências concêntricas no plano de Argand-Gauss de centro 3 + 4𝑖:

Os elementos de 𝐴 estão representados pela região colorida.

Devemos encontrar o complexo de menor módulo e o complexo de maior módulo no conjunto 𝐴. Para isso, traçamos uma reta que passa pela origem e pelo centro das circunferências.

𝑍₁ é o complexo de menor módulo e 𝑍₂ é o complexo de maior módulo. Vamos calcular a equação da reta 𝑟, como ela passa pela origem do sistema e pelo ponto (3; 4), temos:

𝑟: 𝑦 = 4/3𝑥

Os complexos são a intersecção da reta com a circunferência maior. A equação da circunferência maior é

(𝑥 − 3)² + (𝑦 − 4)² = 9

Fazendo a intersecção da reta com essa circunferência, obtemos:

Para 𝑥₁, temos:

𝑦₁ = 8/5

Para 𝑥₂, temos:

𝑦₂ = 32/5

Assim, os complexos são:

𝑍₁ = 6/5 + 8/5𝑖

𝑍₂ = 24/5 + 32/5𝑖

Queremos o produto do simétrico do complexo de menor módulo com o conjugado do complexo de maior módulo: