GABARITO: ALTERNATIVA D

Como 𝑥² + 𝑥 − 1 = 0, então temos que: 𝑥² = −𝑥 + 1 (equação 1)

Elevando os dois lados da equação 1 ao quadrado temos que:

(𝑥²)² = (−𝑥 + 1)² ⟹ 𝑥⁴ = 𝑥² − 2𝑥 + 1 (equação 2)

Da equação 1 temos que 𝑥² = −𝑥 + 1, substituindo a equação 1 na equação 2 temos:

𝑥⁴ = −𝑥 + 1 − 2𝑥 + 1 ⟹ 𝑥⁴ = −3𝑥 + 2 (equação 3)

Elevando os dois lados da equação 3 ao quadrado temos que:

(𝑥⁴)² = (−3𝑥 + 2)² ⟹ 𝑥8 = 9𝑥² − 12𝑥 + 4 (equação 4)

Da equação 1 temos que 𝑥2 = −𝑥 + 1, substituindo a equação 1 na equação 4 temos que:

𝑥⁸ = 9(−𝑥 + 1) − 12𝑥 + 4 ⟹ 𝑥⁸= −9𝑥 + 9 − 12𝑥 + 4

⟹ 𝑥⁸ = −21𝑥 + 13 (equação 5)

Como o enunciado pede o valor de 𝑥⁸ − 7𝑥4 + 3, iremos substituir os valores das equações 3 e 4 na expressão pedida.

Portanto,

𝑥⁸− 7𝑥⁴ + 3 = −21𝑥 + 13 − 7(−3𝑥 + 2) + 3

𝑥⁸ − 7𝑥⁴ + 3 = −21𝑥 + 13 + 21𝑥 − 14 + 3

𝑥⁸ − 7𝑥⁴ + 3 = 13 − 14 + 3 = 17 − 14

𝑥⁸ − 7𝑥⁴ + 3 = 3

Gabarito: D