GABARITO: 𝑺 = {𝟏; 𝟑; 𝟐 − √𝟏𝟕; 𝟐 + √𝟏𝟕}

Antes de encontrarmos as raízes de 𝑞(𝑥), devemos calcular o valor de 𝑘 tal que o mínimo de 𝑞 seja −64. Podemos resolver essa questão de vários modos. Veja:

Método 1) Derivada

Derivando o polinômio e igualando a zero:

𝑞′(𝑥) = 4𝑥³ − 24𝑥² + 12𝑥 + 40 = 0

⇒ 𝑞′(𝑥) = 4(𝑥³ − 6𝑥² + 3𝑥 + 10) = 0

As soluções dessa equação são os pontos de máximos e/ou mínimos locais do polinômio. Note que 𝑥 = 2 satisfaz a equação:

𝑞′(2) = (2)³ − 6(2)² + 3(2) + 10 = 0

Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini em 𝑞′(𝑥), obtemos:

𝑞′(𝑥) = 4(𝑥 − 2)(𝑥² − 4𝑥 − 5)

Fatorando 𝑞′(𝑥):

𝑞′(𝑥) = 4(𝑥 − 2)(𝑥 − 5)(𝑥 + 1)

Logo, 𝑥 = −1 e 𝑥 = 5 também são raízes. Substituindo esses valores em 𝑞(𝑥), temos:

𝑞(−1) = (−1)⁴ − 8(−1)³ + 6(−1)² + 40(−1) + 25 + 𝑘

𝑞(−1) = 𝑘

𝑞(2) = (2)⁴ − 8(2)³ + 6(2)² + 40(2) + 25 + 𝑘

𝑞(2) = 𝑘 + 81

𝑞(5) = (5)⁴ − 8(5)³ + 6(5)² + 40(5) + 25 + 𝑘

𝑞(5) = 𝑘

Como 𝑞(2) > 𝑞(−1) = 𝑞(5), temos que 𝑞(−1) e 𝑞(5) são os mínimos do polinômio. Assim, temos:

𝑞(−1) = 𝑞(5) = 𝑘 = −64

Precisamos calcular as raízes do seguinte polinômio:

𝑞(𝑥) = 𝑥⁴ − 8𝑥³ + 6𝑥² + 40𝑥 + 25 + 𝑘

𝑞(𝑥) = 𝑥⁴ − 8𝑥³ + 6𝑥² + 40𝑥 − 39

Perceba que 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3 são raízes de 𝑞(𝑥). Logo, podemos aplicar Briot-Ruffini:

Solucionando a equação quadrática, encontramos:

Portanto, as raízes o polinômio 𝑞(𝑥) são dadas por:

𝑆 = {1; 3; 2 − √17; 2 + √17}

Método 2) Fatoração

Sabendo que (𝑥 − 2)⁴ = 𝑥⁴ − 8𝑥³ + 24𝑥² − 32𝑥 + 16, podemos usar essa relação para fatorar 𝑞(𝑥). Completando-se os quadrados e fatorando 𝑞(𝑥), obtemos:

Assim, encontramos a forma simplificada de 𝑞(𝑥):

⇒ 𝑞(𝑥) = [(𝑥 − 5)(𝑥 + 1)]² + 𝑘

Dado que [(𝑥 − 5)(𝑥 + 1)]² ≥ 0, temos:

Como 𝑞𝑚𝑖𝑛(𝑥) = −64, devemos ter 𝑘 = −64. Logo:

𝑞(𝑥) = [(𝑥 − 5)(𝑥 + 1)]² − 64

Fatorando 𝑞(𝑥):

𝑞(𝑥) = [(𝑥 − 5)(𝑥 + 1) − 8][(𝑥 − 5)(𝑥 + 1) + 8]

𝑞(𝑥) = (𝑥² − 4𝑥 − 13)(𝑥² − 4𝑥 + 3)

⇒ 𝑞(𝑥) = (𝑥² − 4𝑥 − 13)(𝑥 − 3)(𝑥 − 1)

Raízes:

𝑆 = {1; 3; 2 − √17; 2 + √17}