GABARITO: ALTERNATIVA B

Considere que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são raízes de 𝑝(𝑥). Assim, podemos dizer que

𝑝(𝑎) = 0 ⇒ 𝑎³ + 𝑎 + 1 = 0

⇒ 𝑎³ + 𝑎 = −1 ⇒ 𝑎 (𝑎² + 1) = −1

Elevando ao quadrado ambos os lados:

𝑎² (𝑎² + 1)² = 1 ⇒ 𝑎²(𝑎⁴ + 2𝑎² + 1) = 1 ⇒ 𝑎⁶ + 2𝑎⁴ + 𝑎² = 1

⇒ 𝑎⁶ + 2𝑎⁴ + 𝑎² − 1 = 0

Chamando 𝐴 = 𝑎², a equação fica:

𝐴³ + 2𝐴² + 𝐴 − 1 = 0

Ou seja, 𝐴 = 𝑎² passa a ser raiz do polinômio 𝑥³ + 2𝑥² + 𝑥 − 1. Portanto, como não especificamos qual raiz é 𝑎, o processo é análogo para as demais raízes, de maneira que teremos 𝐴=𝑎², 𝐵 = 𝑏² e 𝐶=𝑐² como raízes do polinômio 𝑥³ + 2𝑥² + 𝑥 −1.

O enunciado afirma que o polinômio ℎ(𝑥)pedido tem essas raízes 𝐴,𝐵 e 𝐶(quadrado das raízes de 𝑝). Sendo assim, podemos afirmar que ele é de terceiro grau e da forma:

ℎ(𝑥) = 𝑘 ⋅ (𝑥³ + 2𝑥² + 𝑥−1)

Como ℎ(0) = −𝑘 = −2 ⇒ 𝑘 = 2. Logo:

ℎ(5) = 2 ⋅ (5³ + 2 ⋅ 5² + 5 − 1) = 358

⇒ 3 ⋅ 5 ⋅ 8 = 120