GABARITO: ALTERNATIVA E

Primeiramente, vamos escrever a relação dada de outra forma:

Ou ainda:

Do que temos:

Faça 𝑝(𝑥) − 1 = 𝑔(𝑥), do que temos, da equação 01:

Seja

Temos então:

Substituindo na equação 01:

Multiplicando ambos os lados por 𝑥ⁿ:

Note que o termo independente, pelo lado esquerdo, é dado por:

𝑎₀𝑎𝑛

E do lado direito, todos os coeficientes são zero, à exceção do coeficiente de 𝑥ⁿ. Ou seja:

𝑎₀𝑎𝑛 = 0

Como se supõe 𝑎𝑛 ≠ 0, temos:

𝑎₀ = 0

Do que resulta:

Repetindo o processo, vemos que o coeficiente do termo 𝑥, pelo lado esquerdo, é:

𝑎₁𝑎𝑛 = 0

Ou seja:

𝑎₁ = 0

Repetindo esse processo, ordenadamente, obtemos:

Assim:

𝑔(𝑥) = ±𝑥ⁿ ⇒ 𝑝(𝑥) = ±𝑥ⁿ + 1

Do enunciado:

𝑝(3) = 28 ⇒ ±3ⁿ + 1 = 28 ⇒ ±3ⁿ = 27

Como 3 > 0, devemos ter 3ⁿ > 0, ou seja, devemos descartar a possibilidade 𝑝(𝑥) = −𝑥ⁿ + 1.

Além disso, veja que:

3ⁿ = 27 = 3³

Como a função exponencial é injetora, devemos ter 𝑛 = 3 como única solução possível.

Por fim:

𝑝(𝑥) = 𝑥³ + 1

Do que segue:

𝑝(4) = 4³ + 1 = 65